Τρίτη , Σεπτέμβριος 26, 2017

Διαμορφωση με τη χρηση Trellis-κωδικοποιησης

 

          Όλοι οι τρόποι κωδικοποίησης που συζητήθηκαν μέχρι στιγμής έχουν σχεδιαστεί για χρήση σε κανάλια με δυαδική είσοδο,δηλαδή τα κωδικοποιημένα bits παραστώνται σαν ενα μονοδιάστατο BPSK σήμα σύμφωνα με τον κανόνα 0

και , ή  0-1 και 1+1 για σήματα μοναδιαίας ενέργειας.(Σηνειώνουμε εδώ ότι ακόμα και μη-δυαδικοί κώδικες, όπως οι RS, μεταδίδονται συνήθως χρησιμοποιώντας δυαδική σηματοδοσία, παραστώντας κάθε σύμβολο(...) σαν μία δυαδική m-αδική ακολουθία).Στην περίπτωση αυτή η φασματική απόδοση η του συστήματος θα είναι ίση με τον κωδικό ρυθμό R,δηλαδή η=R1bit/διάσταση ή αλλιώς το πολύ ένα bit για κάθε απεσταλμένο BPSK σύμβολο.Αφού λοιπόν το εύρος ζωνης προκειμένου να στείλουμε ένα σύμβολο δίχως παραμόρφωση είναι αντιστρόφως ανάλογο προς τον ρυθμό αποστολής () ο συνδυασμός δυαδικής διαμόρφωσης και κωδικοποίησης απαιτεί επέκταση του εύρους ζώνης με έναν παράγοντα .Άρα συγκρινόμενη με την μη-κωδικοποιημένη διαμόρφωση ,το κέρδος της κωδικοποίησης επιτυγχάνεται εις βάρος του εύρους ζώνης του καναλιού.

       Στα πρώτα 25 περίπου χρόνια μετά τη δημοσίευση της εργασίας του Shannon, η έρευνα στη θεωρία κωδίκων συγκεντρωνόταν σχεδόν αποκλειστικά στο σχεδιασμό καλών κωδίκων και αποτελεσματικών αποκωδικοποιητών για χρήση σε κανάλια με δυαδική είσοδο.Στην αρχή του 1970 θεωρούσαν ,μάλιστα, ότι το κέρδος της κωδικοποίησης μπορούσε να επιτευχθεί μόνο μέσω επέκτασης του εύρους ζώνης και ότι η κωδικοποίση δεν μπορούσε να χρησιμεύσει για φασματικές αποδόσεις η 1 bit /διάσταση.Έτσι,σε εφαρμογές όπου το εύρος ζώνης ήταν πεπερασμένο και χρειάζονταν μεγαλα αλφάβητα ώστε να επιτευχθεί υψήλη απόδοση εύρους ζώνης (όπως η αποστολή δεδομένων σε dial-up τηλεφωνικά δίκτυα) η κωδικοποίση δε θεωρούταν βιώσιμη λύση.Αντίθετα,στο σχεδιασμού του συστήματος διαμόρφωσης έμφαση είχε δοθεί σχεδόν ολοκληρωτικά στην κατασκευή μεγάλων σύνολα συμβόλων/αστερισμών σε 2-διάστατους Ευκλείδειους χώρους,των οποίων τα σύμβολα/σημεία είχαν την ελάχιστη μεταξύ τους Ευκλείδεια απόσταση,παίρνοντας υπόψη συγκεκριμένους περιορισμούς για τη μέση και peak ενέργεια του σήματος.

      Στα επόμενα δύο κεφάλαια παρουσιάζουμε μια τεχνική που συνδυάζει κωδικοποίηση και διαμόρφωση, η οποία ονομάζεται κωδικοποιημένη διαμόρφωση, και επιτυγχάνει σημαντικό κέρδος κωδικοποίσης χωρίς επέκταση του εύρους ζώνης.Επιπλέον, το κέρδος της κωδικοποίησης μπορεί να επιτευχθεί ανεξάρτητα από την απόδοση εύρους ζώνης του συστήματος διαμόρφωσης.Έτσι,η κωδικοποιημένη αυτή διαμόρφωση αναφέρεται ως σύστημα σηματοδότησης αποτελεσματικό στη χρήση του εύρους ζώνης.Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε την Trellis-κωδικοποιημένη διαμόρφωση(TCM) ,μια μέθοδο διαμόρφωσης που βασίζεται στους συνελικτικούς κώδικες και στο επόμενο κεφάλαιο την κωδικοποίηση με block-κώδικες(BCM).Η μέθοδος TCM ,ουσιαστικά, συνδυάζει τους συνήθεις συνελικτικούς (δυαδικούς )κώδικες με κωδικό ρυθμό  μαζί με σήματα που χρησιμοποιούν Μ-αδικούς αστερισμούς(),με τέτοιον τρόπο ώστε το κέρδος της κωδικοποίησης επιτυγχάνεται χωρίς να αυξηθεί ο ρυθμός με τον οποίο εκπέμπουμε τα σύμβολα,δηλαδή, χωρίς να αυξήσουμε το χρησιμοποιούμενο εύρος ζώνης.Για παράδειγμα,ένας συνελικτικός κώδικας με R=2/3 μπορεί να συνδυαστεί με 8-PSK διαμόρφωση αν ορίσουμε τα 3 bits εξόδου του κωδικοποιητή σε κάθε χρονικό διάστημα Τ-δευτερολέπτων σαν ένα 8-PSK σύμβολο.Η  TCM  μέθοδος κωδιοποίησης μπορεί να συγκριθεί με μία μη-κωδικοποιημένη QPSK διαμόρφωση,αφού και οι δύο έχουν απόδοση εύρους ζώνης  η=2 bits/σύμβολο ή 1 bit/διάσταση(και τα δύο σύνολα συμβόλων/αστερισμοί είναι διδιάστατα).Η λειτουργία της είναι η εξής: τα επιπλέον bits που προσθέτει η κωδικοποίηση δεν χρησιμοποιούνται για την αποστολή επιπλέον συμβόλων όπως στη δυαδική κωδικοποίηση αλλά αντ’ αυτού χρησιμοποιούνται  ώστε να επεκτείνουν το μέγεθος του αστερισμού του σήματος(σε σχέση με το μη-κωδικοποιημένο σύστημα).Συμπερασματικά, η κωδικοποιημένη διαμόρφωση είναι μία τεχνική επέκτασης του αστερισμού του σήματος και όχι του χρησιμοποιούμενου εύρους  ζώνης.

        Για να μπορούμε να συγκρίνουμε σωστά ένα σύστημα κωδικοποιημένης διαμόρφωσης  με ένα μη-κωδικοποιημένης,θα πρέπει ο αστερισμός του σήματος που κωδικοποιήθηκε να έχει την ίδια ενέργεια με αυτόν του μη-κωδικοποιημένου.Κάτι τέτοιο υπονοεί ότι τα σημεία του αστερισμού θα πρέπει να είναι κοντύτερα μεταξύ τους στον διδιάστατο Ευκλείδειο χώρο,δηλαδή να μειωθεί η ελάχιστη Ευκλείδεια απόσταση ανάμεσα στα σημεία του αστερισμού.Σε ένα TCM σύστημα,αν διαλέξουμε τους συνελικτικούς κώδικες ώστε να μεγιστοποιούν την ελάχιστη ελεύθερη απόσταση Hamming και αντιστοιχήσουμε τις εξόδους του κωδικοποιητή σε σημεία του αστερισμού χωρίς να λάβουμε υπόψη τους κώδικες που διαλέξαμε,δεν μπορούμε να έχουμε κάποιο κέρδος απο την κωδικοποίηση.Κέρδος θα υπάρξει μόνο εφόσον οι συνελικτικοί κώδικες και η “αντιστοίχιση”(mapping) σχεδιαστούν από κοινού.Ο κοινός αυτός σχεδιασμός επιτυγχάνεται με τη χρήση μιας τεχνικής γνωστής ως αντιστοίχιση μέσω διαχωρισμού συνόλων(mapping by set-partioning).

       Ένας άλλος τομέας στον οποίο έχει δοθεί μεγάλη προσοχή είναι η σχεδίαση  TCM συστημάτων για χρήση σε κανάλια με διαλείψεις(fading).Όπως και στην περίπτωση της BPSK διαμόρφωσης,θα πρέπει να εφαρμόσουμε επικάλυψη καναλιών ώστε να σιγουρευτούμε ότι τα ληφθέντα σύμβολα θα επηρεαστούν ανεξάρτητα από τις διαλείψεις.Οι κανόνες σχεδιασμού του συστήματος ,βέβαια, θα είναι διαφορετικοί από αυτούς που χρησιμοποιούνται στην περίπτωση της δυαδικής διαμόρφωσης ώστε να επιτύχουμε την καλύτερη απόδοση σε περιβάλλον με διαλείψεις.

 

18.1 Εισαγωγή στην Trellis-κωδικοποιημένη διαμόρφωση

Στα προηγούμενα περί TCM, θεωρούμε ότι διαλέγουμε τα σύμβολα που θα στείλουμε από έναν Μ-αδικό αστερισμό που βρίσκεται σε μονοδιάστατο ή διδιάστατο Ευκλείδειο χώρο.Μερικοί τυπικοί αστερισμοί σήματος φαίνονται στο Σχήμα 18.1.Κάποιοι μονοδιάστατοι αστερισμοί ,γνωστοί και ως διαμόρφωσης πλάτους(ΑΜ) είναι σχεδιασμένοι στο Σχήμα 18.1(α).Ο απλούστερος από αυτούς είναι ο 2-ΑΜ, που είναι ισοδύναμος του BPSK.Στο Σχήμα 18.1(b) εμφανίζονται διάφοροι 2-διάστατοι αστερισμοί σήματος ,οι οποίοι προέρχονται από συνδυασμό διαμόρφωσης πλάτους και φάσης(ΑΜ/ΡΜ).Τετραγωνικοί αστερισμοί με  σημεία , όπου  p=1,2,... αναφέρονται και ως σύνολα σημάτων/αστερισμοί με τετραγωνική διαμόρφωση πλάτους(QAM),διότι μπορούν να παραχθούν με εφαρμογή διαμόρφωσης πλάτους , ξεχωριστά , σε 2 ορθογώνια μεταξύ τους φέροντα (π.χ. ένα ημίτονο κι ένα συνημίτονο) χρησιμοποιώντας ένα διακριτό αριθμό 2πιθανών πλατών και έπειτα ενώνοντας τα δύο διαμορφωμένα σήματα.Όλοι οι μονοδιάστατοι ΑΜ και διδιάστατοι ΑΜ/ΡΜ αστερισμοί μπορούν να θεωρηθούν σαν υποσύνολα ενός πλέγματος,ενός άπειρου πίνακα με τακτικά τοποθετημένα σημεία διατεταγμένα έτσι ώστε να έχουν την ελάχιστη μέση ενέργεια. Για παράδειγμα, το 4-ΑΜ είναι ένα υποσύνολο του μονοδιάστατου πλέγματος ακεραίων ,του οποίου τα σημεία αποτελούνται από όλους τους ακέραιους σε μία διάσταση,ενώ το 16-QAM είναι ένα υποσύνολο του διδιάστατου πλέγματος ακεραίων  του οποίου τα σημεία αποτελούνται από όλους τους ακέραιους σε δύο διαστάσεις.Τέλος, μερικά διδιάστατα Μ-αδικά σύνολα σήματων με μεταλλαγή ολίσθησης φάσης(MPSK) φαίνονται στο Σχήμα 18.1(c).Όλα τα MPSK σήματα έχουν το ίδιο πλάτος, αποτελώντας έτσι μία μορφή διαμόρφωσης φάσης.Το πιο απλό σύνολο,το 4- MPSK(σημειώνεται και ως QPSK) είναι ισοδύναμο με το 4-QAM.

      Επειδή η διαμόρφωση TCM χρησιμοποιεί τη μέθοδο της επέκτασης του αστερισμού σημάτων ,κι όχι την αποστολή επιπλέον συμβόλων, για να μεταδώσει τα επιπρόσθετα bits που εισάγει η κωδικοποίηση,οι σύγκριση των επιδόσεων των TCM συστημάτων θα πρέπει να γίνει με άλλα μη-κωδικοποιημένα που χρησιμοποιούν μικρότερα σύνολα σημάτων αλλά έχουν την ίδια απόδοση εύρους ζώνης (δηλ. ίδιο αριθμό bits πληροφορίας ανά εκπεμπόμενο σύμβολο).Άρα θα πρέπει να προσέξουμε ώστε να διασφαλίσουμε ότι τα συστήματα διαμόρφωσης που συγκρίνονται έχουν ίση μέση ενέργεια ανά εκπεμπόμενο σύμβολο.Για παράδειγμα ,μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση ενέργεια σήματος για καθένα από τα τρία μονοδιάστατα ΑΜ σύνολα σημάτων του Σχήματος 18.1(α) ,όπου θεωρήσαμε ότι η ελάχιστη Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των σημάτων είναι =2 , ως εξής:

                                            (2-ΑΜ)            (18.1a)

                               (4-ΑΜ)             (18.1b) 

    (8-ΑΜ)              (18.1c)

        Άρα για να συγκρίνουμε το σύστημα TCM που αποστέλλει/εκπέμπει ένα bit πληροφορίας και ένα επιπρόσθετο bit (λόγω κωδικοποίησης) με χρήση 4-ΑΜ διαμόρφωσης με ένα μη-κωδικοποιημένο σύστημα που χρησιμοποιεί 2-ΑΜ διαμόρφωση, θα πρέπει να μειώσουμε την ενέργεια κάθε σήμειου του αστερισμού του συστήματος TCM με έναν παράγοντα ίσο με 5, δηλαδή σχεδόν 7dB, έτσι ώστε να διατηρήσουμε ίση τη μέση ενέργεια για κάθε εκπεμπόμενο σύμβολο.Με άλλα λόγια , θα πολλαπλασιάσουμε το πλάτος του κάθε σήματος με έναν παράγοντα .Με την ίδια λογική ,ένα σύστημα TCM που αποστέλλει ένα bit πληροφορίας και δύο επιπρόσθετα bits (λόγω κωδικοποίησης) με χρήση 8-ΑΜ διαμόρφωσης για να μπορεί να συγκρηθεί με ένα μη-κωδικοποιημένο σύστημα που χρησιμοποιεί 2-ΑΜ διαμόρφωση, θα πρέπει να μειώσουμε την ενέργεια του κωδικοποιημένου συστήματος με έναν παράγοντα ίσο με 21, δηλαδή περισσότερα από 13dB.Αυτή η μειωμένη ενέργεια σήματος έχει σαν αποτέλεσμα μειωμένη ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στα σημεία του αστερισμού,κάτι που θα πρέπει να υπερνικήσει η κωδικοποίηση έτσι ώστε το TCM να επιτυγχάνει θετικό κέρδος κωδικοποίησης συγκρινόμενο με ένα σύστημα ίσης μέσης ενέργειας σήματος χωρίς κωδικοποίηση.Προκειμένου να ελαχιστοποιηθεί η μείωση στην ενέργεια των σημάτων του συστήματος TCM,στην πράξη , χρησιμοποιούνται κώδικες με μόνο ένα επιπρόσθετο bit,δηλαδή κώδικες με κωδικό ρυθμό .Έτσι, ο σχεδιασμός των συστημάτων TCM εμπλέκει τη χρήση υψηλού ρυθμού δυαδικών συνελικτικών κωδίκων.Στον Πίνακα 18.1 σημειώνουμε τις μέσες ενέργειες κάθε συνόλου σημάτων που φαίνεται στο Σχήμα 18.1,όπου η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων του αστερισμού είναι =2 και κάθε αστερισμός έχει την ελάχιστη μέση ενέργειά του.Οι ενεργειακές απαιτήσεις ενός αστερισμού μπορούν να συγκρηθούν με κάποιου άλλου από τη διαφορά (σε dB) των τιμών τους στον Πίνακα 18.1.Για παράδειγμα, αν συγκρίνουμε το μη-κωδικοποιημένο 8-PSK με το κωδικοποιημένο 16- PSK με ένα επιπλέον bit, λέμε ότι ο παράγοντας επέκτασης αστερισμού  του κωδικοποιημένου συστήματος σε σχέση με το μη-κωδικοποιημένο είναι =14,2dB-8,3dB=5,9dB.

        Ας θεωρήσουμε τώρα τη μετάδοση μιάς ακολουθίας σήματος (κωδικοποιημένου ή μη) Μ-αδικού αστερισμού  μέσα από ένα AWGN κανάλι.Ας πούμε ότι η εκπεμπόμενη ακολουθία είναι  με  για κάθε l και η λαμβανόμενη είναι  ,όπου  είναι η ακολουθία θορύβου.Το  είναι ένα ανεξάρτητο δείγμα Gaussian θορύβου με μηδενική μέση τιμή και διακύμανση  ανά διάσταση για κάθε l ενώ τα  και  ανήκουν σε μονοδιάστατο ή διδιάστατο Ευκλείδειο χώρο ,ανάλογα με το εάν το S είναι μονοδιάστατο ή διδιάστατο.Μπορούμε επίσης να παραστήσουμε τις ακολουθίες εκπομπής,θορύβου και λήψης με τα διανύσματα ,  και  αντίστοιχα ενώ για διδιάστατους χώρους τα σημεία του σήματος εκπομπής,θορύβου και λήψης σημειώνονται ως   ,  και .Σε ολόκληρο το κεφάλαιο θα θεωρήσουμε ότι το διάνυσμα r είναι μη-κβαντισμένο,το οποίο σημαίνει μπορούμε να αποκωδικοποιήσουμε με τη μέθοδο της soft-απόφασης.

       Προκειμένου να υπολογίσουμε την πιθανότητα σφάλματος συμβόλου σε ένα σύστημα δίχως κωδικοποίηση, μπορούμε να θεωρήσουμε την εκπομπή ενός μόνο συμβόλου.Για παράδειγμα,αν έχουμε ένα QPSK σήμα όπως αυτό του Σχήματος 18.1(c) και κάθε σημείο του αστερισμού έχει ενέργεια ,δηλαδή η απόστασή του από την αρχή των αξόνων είναι ίση με  μπορούμε να προσεγγίσουμε την πιθανότητα σφάλματος συμβόλου σε ένα AWGN κανάλι με μονόπλευρη φασματική πυκνότητα ισχύος  με το γνωστό Φράγμα Ένωσης ως εξής:

                                                   

                                                   

                                                     , (χωρίς κωδικοποίηση)       (18.2)

όπου  είναι η ελάχιστη τετραγωνική Ευκλείδεια απόσταση(MSE) μεταξύ των σημείων στον αστερισμό των σημάτων και  είναι ο αριθμός των εγγύτερων γειτόνων σε έναν QPSK αστερισμό.(Δεν είναι βέβαια, δύσκολο να υπολογίσουμε την ακριβή τιμή του ,αλλά η προσεγγιστική τιμή που δίνει η σχέση (18.2) επιτρέπει την απ’ ευθείας σύγκριση με τα φράγματα της απόδοσης των συστημάτων που χρησιμοποιούν κωδικοποίηση).

          Αν έχουμε κωδικοποιημένη μετάδοση, υποθέτουμε ότι το διάνυσμα r αποκωδικοποιείται τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας soft-απόφασης Viterbi όπως συζητήθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο.(Για διδιάστατους αστερισμούς ,η μετρική που χρησιμοποιεί η μέθοδος Viterbi είναι απλά η απόσταση μεταξύ των σημάτων στον 2-D χώρο).Στην περίπτωση αυτή, θεωρώντας την εκπομπή μιας συγκεκριμένης κωδικής ακολουθίας  y η γενική μορφή του Άνω Φράγματος Ένωσης της πιθανότητας σφάλματος γεγονότος γίνεται

                                                                               (18.3)

όπου

   (18.4)

είναι η τετραγωνική Ευκλείδεια απόσταση των κωδικοποιημένων ακολουθιών y και y’.Τώρα ορίζοντας  ως την ελάχιστη ελεύθερη τετραγωνική Ευκλείδεια απόσταση(MFSE) μεταξύ του y και οποιασδήποτε άλλης κωδικής ακολουθίας y’, και ως τον αριθμό των εγγύτερων γειτόνων μπορούμε να προσεγγίσουμε το όριο της

                                                               (με κωδικοποίηση)  (18.5)

     Οι εκφράσεις για την πιθανότητα σφάλματος γεγονότος που δίνονται στις σχέσεις (18.3) και (18.5) καθορίζονται/εξαρτώνται από την εκπομπή μιας συγκεκριμένης ακολουθίας y ,διότι ,γενικά, τα συστήματα TCM είναι μη γραμμικά.Παρόλα αυτά στις περισσότερες περιπτώσεις έχουν πολλές από τις συμμετρίες των γραμμικών κωδίκων.Συνήθως, η  είναι ανεξάρτητη από την εκπεμπόμενη ακολουθία ,ενώ ο  εξαρτάται από την ακολουθία.Περισσότερα για την ανάλυση σφαλμάτων αναφέρονται στο Κεφάλαιο 18.3.

        Επειδή η εκθετική συμπεριφορά των (18.2) και (18.5) εξαρτάται από τις MSE αποστάσεις των μη-κωδικοποιημένων και κωδικοποιημένων συστημάτων αντίστοιχα,το ασυμπτωτικό κέρδος κωδικοποίησης γ του TCM σε σχέση με ένα σύστημα χωρίς κωδικοποίηση μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

                                                                                      (18.6)

όπου  και  είναι οι μέσες ενέργειες των αστερισμών των κωδικοποιημένων και μη σημάτων.Μπορούμε να ξαναγράψουμε την (18.6)

                                                                           (18.7)

 όπου  είναι ο παράγοντας επέκτασης αστερισμού και  είναι ο παράγοντας κέρδους απόστασης.

          Προχωρώντας παραπέρα έστω ότι τα  και  αντιπροσωπεύουν την ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων του αστερισμού των μη-κωδικοποιημένων και κωδικοποιημένων σημάτων αντίστοιχα,θεωρούμε ότι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ του (εκτεταμένου) αστερισμού των κωδικοποιημένων σημάτων μειώνεται,ούτως ώστε η μέση ενέργεια των αστερισμών να είναι ίση,δηλαδή ισχύει <  και =1.Έπειτα ,το TCM θα πρέπει να έχει ελεύθερη απόσταση μεταξύ των κωδικοποιημένων ακολουθιών μεγαλύτερη από την ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων του αστερισμού του συστήματος χωρίς κωδικοποίηση ώστε να μπορεί να επιτύχει κάποιο κέρδος σε σχέση με αυτό.Με άλλα λόγια,παρόλο που <  ένα σύστημα TCM θα πρέπει να έχει > .

           Στο σχεδιασμό των κωδίκων για δυαδική διαμόρφωση η απόσταση MFSE ανάμεσα σε δύο ακολουθίες y και  y’δίνεται από τη σχέση (δες Πρόβλημα 18.1)

                                                  (δυαδική διαμόρφωση)            (18.8)

όπου  είναι η ελάχιστη απόσταση Hamming του συνελικτικού κώδικα.Έτσι, για δυαδική διαμόρφωση, ο καλύτερος σχεδιασμός συστήματος επιτυγχάνεται αν επιλέξουμε τον κώδικα που μεγιστοποιεί την .Σε λίγο θα διαπιστώσουμε ότι αυτό δεν είναι αληθές στην περίπτωση του σχεδιασμού TCM συστημάτων.

          Στην περίπτωση του TCM, θεωρούμε έναν συνελικτικό κώδικα με ρυθμό  και ελάχιστη απόσταση Hamming  και σημειώνουμε τα k+1 bits εξόδου του κωδικοποιητή σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή l με το διάνυσμα .(Σε όλο το υπόλοιπο του κεφαλαίου όποτε δεν είναι απαραίτητο να σημειώνουμε τη χρονική τιμή l ενός διανύσματος,το γράμμα l θα παραλείπεται.Έτσι διανύσματα όπως το  θα σημειώνονται απλά ως v).Έπειτα ας υποθέσουμε ότι τα  δυαδικά διανύσματα αποτυπώνονται σε έναν Μ-αδικό αστερισμό S κάνοντας χρήση μιας ένα-προς-ένα συνάρτησης αντιστοίχισης  f(v) όπου Μ=.

           Βλέπουμε από την (18.3) ότι η επίδοση ενός TCM συστήματος εξαρτάται από τις τετραγωνικές Ευκλείδειες(SE) αποστάσεις ανάμεσα στις ακολουθίες σημάτων.Γι΄ αυτό, θα πρέπει να καθορίσουμε το σύνολο των SE αποστάσεων μεταξύ όλων των πιθανών σημείων του αστερισμού.Σημειώνοντας τις δυαδικές ετικέτες/κωδικές λέξεις των δύο σημάτων με τα διανύσματα v και v’,ορίζουμε το διάνυσμα σφάλματος e=vv’ σαν το modulo-2 άθροισμά τους.Ισχύει ,ότι δηλαδή το βάρος Hamming ενός διανύσματος σφάλματος ισούται με την απόσταση Hamming ανάμεσα στις δυαδικές ετικέτες του.Για κάθε διάνυσμα σφάλματος e υπάρχουν Μ ζεύγη από διανύσματα σήματος v και v’ τέτοια ώστε v’=ve και άρα Μ πιθανές SE αποστάσεις .Για να υπολογίσουμε αυτό το σύνολο των αποστάσεων, εισάγουμε τον μετρητή μέσου Ευκλείδειου βάρους(AEWE) που ορίζεται ως εξής:

                                            (18.9α)

Ξεκάθαρα, ο  εξαρτάται από τον αστερισμό του S και από τη συνάρτηση αντιστοίχησης  f().Όταν ενδιαφερόμαστε μόνο για την MFSE απόσταση  μεταξύ των ακολουθιών σήματος αρκεί να ορίσουμε τον μετρητή ελάχιστου Ευκλείδειου βάρους (ΜEWE) ενός διανύσματος σφάλματος σαν

                                                                          (18.9b)

όπου

                                                                                                 (18.9c)

ονομάζεται το Ευκλείδειο βάρος (EW) του  e.

         Απο τους AEWE και ΜEWE μπορούμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση μέτρησης μέσου βάρους  και την MFSE απόσταση  ενός συστήματος TCM αντίστοιχα.Η βασική τεχνική ακολουθεί.Σημειώνουμε κάθε κλάδο ενός τυπικού trellis,που χρησιμοποιεί γραμμικό δυαδικό συνελικτικό κώδικα ρυθμού ,με ένα διάνυσμα v που αντιπροσωπεύει τα k+1 παρώντα bits εξόδου του κωδικοποιητή.Εναλλακτικά,μπορούμε να σημειώσουμε κάθε κλάδο του trellis με το διάνυσμα σφάλματος e=vv’ που αντιπροσωπεύει τη διαφορά (mod-2 άθροισμα) μεταξύ του v και το αντίστοιχο διάνυσμα v’ μιας κωδικής λέξης αυθαίρετης αναφοράς.Εξαιτίας της γραμμικότητας, είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι αυτή η μέθοδος  του trellis σφάλματος είναι ίδια με τη συνηθισμένη μέθοδο.Εάν,έπειτα, μεταβάλλουμε το trellis σφάλματος αντικαθιστώντας τις δυαδικές ετικέτες/κωδικές λέξεις με τους μετρητές βάρους Hamming  κάθε κλάδου,μπορούμε να υπολογίσουμε τη συνάρτηση μέτρησης βάρους Α(Χ) και την ελάχιστη ελεύθερη Hamming απόσταση  του κώδικα μετατρέποντας το trellis σφάλματος σε ένα διάγραμμα κατάστασης σφάλματος και χρησιμοποιώντας την τυπική προσέγγιση με συνάρτηση μεταφοράς που συζητήθηκε στο κεφάλαιο 11.Εάν ισχύουν συγκεκριμένες συνθήκες ισορροπίας στον αστερισμό σήματος S και στη συνάρτηση αντιστοίχησης  f(),εφαρμόζουμε την ίδια ακριβώς μέθοδο και στα TCM συστήματα,παρόλο που γενικά είναι μη-γραμμικά.Στην περίπτωση αυτή, αντικαθιστώντας τις δυαδικές ετικέτες στο trellis σφάλματος του συνελικτικού κώδικα με τους AEWE και ΜEWE από την (18.9),ανάλογα με το αν θέλουμε να υπολογίσουμε την  ή την . Οι AEWE είναι γενικά πολυώνυμα του Χ,δηλώνοντας ότι μπορεί περισσότερες από μια αποστάσεις να αντιστοιχούν στο ίδιο διάνυσμα σφάλματος,ενώ οι ΜEWE,εφόσον υπολογίζουν μόνο την ελάχιστη απόσταση που αντιστοιχεί σε ένα e,είναι μονώνυμα (όπως και στην περίπτωση των δυαδικών συνελικτικών κωδίκων).Προκειμένου να εξηγήσουμε πότε μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος της συνάρτησης μεταφοράς,εισάγουμε την έννοια της ομοιόμορφης αντιστοίχησης (uniform mapping).

             Πρώτα, διαχωριζουμε το σύνολο σημάτων/αστερισμό S σε δύο υποσύνολα Q(0) και Q(1),τέτοια ώστε το Q(0) να περιέχει  σημεία σήματος που σημειώνονται με ένα διάνυσμα v με =0 και το Q(1) να περιέχει   σημεία σήματος με =1.Έπειτα, έστω  είναι ο AEWE για το υποσύνολο Q(0) και  ο AEWE για το υποσύνολο Q(1).Με ανάλογο τρόπο ορίζεται και οι ΜEWE των υποσυνόλων  και .

ΟΡΙΣΜΟΣ 18.1  Μια ένα-προς-ένα συνάρτηση αντιστοίχησης  f(v) από ένα διάνυσμα εξόδου  συνελικτικού κωδικοποιητή ρυθμού  σε ένα σημείο αστερισμού σήματος  που ανήκει σε ένα Μ-αδικό σύνολο σημάτων S είναι ομοιόμορφη όταν και μόνον όταν ισχύει = για όλα τα διανύσματα σφάλματος e.

 

 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18.1                        Ομοιόμορφη Αντιστοίχηση

 

Ας θεωρήσουμε τα τρία 8-PSK σύνολα σημάτων που φαίνονται στο Σχήμα 18.2 μαζί με τις διαφορετικές κωδικές λέξεις που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο του αστερισμού.Χρησιμοποιούμε το σημείο v(0,0,0) σαν αναφορά και υποθέτωντας σήματα μοναδιαίας ενέργειας υπολογίζουμε τις τέσσερεις διακριτές Ευκλείδειες αποστάσεις μεταξύ των σημείων του 8-PSK αστερισμού:

                                 (18.10α)

                                                                                                  (18.10b)

                                 (18.10c)

                                                                                                        (18.10d)

          Θα εξετάσουμε τις 8 πιθανές SE αποστάσεις που αντιστοιχούν στο διάνυσμα σφάλματος e(001) για τη σηματοδοσία του Σχήματος 18.(2α).Βλέπουμε ότι υπάρχουν 4 συνολικά κωδικά διανύσματα για τα οποία ισχύει =2. Αυτά είναι τα v=(000),(001),(110) και (111),ενώ υπάρχουν άλλα 4 διανύσματα για τα οποία ισχύει =3.414. Αυτά είναι τα v=(010),(011),(100) και (101).Άρα, ο AEWE για το διάνυσμα σφάλματος e(001) είναι .Εάν τώρα διαχωρίσουμε το σύνολο σημάτων S σε δύο υποσύνολα Q(0) και Q(1) ανάλογα με την τιμή του  bit(LSB) της κωδικής λέξης παρατηρούμε ότι ,για διάνυσμα σφάλματος e(001), το καθένα υποσύνολο περιέχει ακριβώς δύο σημεία του αστερισμού για τα οποία ισχύει =2 και ακριβώς δύο σημεία του αστερισμού για τα οποία ισχύει =3.414,δηλαδή θα έχουμε ==.Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για κάθε πιθανό διάνυσμα σφάλματος e υπολογίζουμε τους AEWE και τους αντίστοιχους ΜEWE,οι οποίοι φαίνονται στον Πίνακα 18.2(α) για κάθε υποσύνολο Q(0) και Q(1).Επειδή ισχύει = για κάθε e,η αντιστοίχηση είναι ομοιόμορφη.

            Οι AEWE και ΜEWE για κάθε διάνυσμα σφάλματος e που προκύπτουν από τις αντιστοιχίσεις(mappings) των σχημάτων 18.2(b) και 18.2(c) παρατίθενται επίσης στους Πίνακες 18.2(b) και 18.2(c).Στην περίπτωση της 8-PSK αντιστοίχησης που φαίνεται στο Σχήμα 18.2(b), παρατηρούμε ότι για τρία διανύσματα σφάλματος , συγκεκριμένα για τα  e =(010),(100),(110), έχουμε  , ενώ για τα διανύσματα  e =(100) και (110) τα Ευκλείδεια βάρη είναι διαφορετικά για τα δύο υποσύνολα.Άρα, έχουμε μη-ομοιόμορφη αντιστοίχηση.Τέλος,για την 8-PSK αντιστοίχηση που φαίνεται στο Σχήμα 18.2(c), παρατηρούμε ότι για τα διανύσματα σφάλματος e =(100),(110), έχουμε  και διαφορετικά Ευκλείδεια βάρη για κάθε υποσύνολο Q(0) και Q(1).Άρα και εδώ η αντιστοίχηση είναι μη-ομοιόμορφη.

 

Οι ακόλουθες παρατηρήσεις αναφέρονται στο Παράδειγμα 18.1:

 

             Στην ομοιόμορφη αντιστοίχηση του Σχήματος 18.2(α),ισχύει == και επίσης οι MEWE και EW είναι ίσοι στα δύο υποσύνολα Q(0) και Q(1).Αυτό ισχύει πάντα όταν έχουμε ομοιόμορφη αντιστοίχηση.

 

             Στα Σχήματα 18.2(α) και 18.2(c), τα υποσύνολα Q(0) και Q(1) είναι ισομορφικά.δηλαδή το ένα υποσύνολο προκύπτει από το άλλο μέσω ενός συνδυασμού πρειστροφής,μετάφρασης(?) και ανάκλασης γύρω από έναν άξονα του αστερισμού.Μια  ένα-προς-ένα αντιστοίχηση που μετατρέπει ένα σύνολο σημάτων/αστερισμό σε ένα άλλο ισομορφικό,διατηρώντας έτσι το σύνολο των αποστάσεων μεταξύ των σημείων του αστερισμού, ονομάζεται ισομετρία.

 

             Για να είναι μια αντιστοίχηση ομοιόμορφη,αναγκαία συνθήκη είναι να υπάρχει ισομετρία ανάμεσα στα υποσύνολα Q(0) και Q(1).Παρόλ’ αυτά η ισομετρία δεν είναι ικανή συνθήκη.Έτσι, ακόμα και όταν υπάρχει ισομετρία, μπορεί μια αντιστοίχηση να είναι μη-ομοιόμορφη,όπως στην πρείπτωση του Σχήματος 18.2(c) (δες επίσης το Πρόβλημα 18.3).

 

             Στο Σχήμα 18.2(b) δεν υπάρχει ισομετρία ανάμεσα στα υποσύνολα Q(0) και Q(1).Άρα, αυτή η αντιστοίχηση δεν μπορεί να είναι ομοιόμορφη.

 

     

           Ας θεωρήσουμε τώρα ότι οι και  είναι δύο οποιεσδήποτε ακολουθίες στον δυαδικό κώδικα trellis,όπου

                                                                               (18.11a)

                                                                           (18.11b)

και

              (18.11c)

είναι μία μη-μηδενική διαδρομή μέσω του trellis σφάλματος μήκους L+1 κλάδων, δηλαδή τα και  διαφέρουν το πολύ κατά L+1 κλάδους.Τότε ο όρος e(D) αντιπροσωπεύει ένα σφάλμα γεγονότων μήκους L+1.Εάν  y(D) και  y’(D) είναι οι ακολουθίες σήματος των δύο καναλιών που αντιστοιχούν στα και ,δηλαδή και  ,τότε οι SE αποστάσεις ανάμεσα στις και δίνεται από τη σχέση

                                

                                                            

                                                                                                (18.12)

                                                                                      

όπου η ανισότητα προκύπτει από τον ορισμό του Ευκλείδειου βάρους της (18.9c) και το  ονομάζεται Ευκλείδειο βάρος της ακολουθίας σφαλμάτων e(D).Θα αποδείξουμε τώρα ένα λήμμα που καθορίζει τις συνθήκες κατώ από τις οποίες τα Ευκλείδεια βάρη μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της MFSE απόστασης  ενός συστήματος TCM.

 

 

 

 

 

 

 

 

                    ΛΗΜΜΑ 18.1 (Λήμμα κώδικα με ρυθμό R=k/(k+1)[1]Ας υποθέσουμε                       ότι η αντιστοίχηση του διανύσματος εξόδου v ενός δυαδικού συνελικτικού κωδικοποιητή με ρυθμό  στα στοιχεία ενός -αδικού συνόλου σημάτων S  είναι ομοιόμορφη.Τότε, για κάθε δυαδική ακολουθία σφάλματος e(D) στο trellis σφάλματος,υπάρχει ένα ζεύγος ακολουθιών σήματος y(D) και  y’(D) τέτοιες ώστε στην (18.12) να ισχύει η ισότητα.

Απόδειξη. Από τον ορισμό του Ευκλείδειου βάρους, είναι για κάθε μονάδα χρόνου l. Επειδή η αντιστοίχηση είναι ομοιόμορφη, στην ελαχιστοποίηση του διανύσματος των k-bits παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα στο υποσύνολο Q(0) με =0 και στο υποσύνολο Q(1) με =1.Άρα, το Ευκλείδειο βάρος είναι ανεξάρτητο από την τιμή του  και του  . Επιπλέον , ένας κωδικοποιητής κωδικού ρυθμού  μπορεί να παράγει οποιαδήποτε ακολουθία από διανύσματα των k-bits  (μόνο ένα bit είναι περιορισμένο),δηλαδή κάθε τέτοια ακολουθία από διανύσματα των k-bits αντιστοιχεί σε μία διαδρομή μέσω του trellis.Άρα,για κάθε δυαδική ακολουθία σφαλμάτων  e(D),υπάρχει μια ακολουθία εξόδου του κωδικοποιητή v(D) τέτοια ώστε στην (18.12) να ισχύει η ισότητα.                                                                                            ο.ε.δ

   

          Το Λήμμα 18.1 υπονοεί μπορούμε να υπολογίσουμε την MFSE απόσταση μεταξύ ακολουθιών σήματος αντικαθιστώντας τις κωδικές λέξεις στο trellis σφαλμάτων με τους MEWE και βρίσκοντας τη διαδρομή ελάχιστου βάρους διαμέσου του trellis,δηλαδή

                                                                                    (18.13)

Μια παρόμοια συλλογιστική χρησιμοποιείται για να δείξουμε ότι η συνάρτηση μέτρησης ελάχιστου βάρους  μπορεί να υπολογιστεί αντικαθιστώντας τις κωδικές λέξεις στο trellis σφαλμάτων με τους ΑEWE και βρίσκοντας τη συνάρτηση μεταφοράς του διαγράμματος τροποποιημένης κατάστασης(δες Πρόβλημα 18.4).Αν η αντιστοίχηση δεν είναι ομοιόμορφη,τότε το λήμμα για κώδικα με ρυθμό  δεν ισχύει, και ο υπολογισμός των  και  γίνεται πολύ πιο πολύπλοκος.Ένα τέτοιο παράδειγμα υπάρχει αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο.

             Η μέθοδος που χρησιμοποιεί τους ΑEWE για τον υπολογισμό της  θα παρουσιαστεί στο Κεφάλαιο 18.3.Στο υπόλοιπο αυτού του κεφαλαίου παρουσιάζουμε μια σειρά παραδειγμάτων,τα οποία επικεντρώνονται στις βασικές αρχές σχεδιασμού ενός συστήματος TCM ώστε να έχει μέγιστη .

             

 

 

 

 

 

 

 

Παράδειγμα 18.2   Ρυθμός R=1/2 Trellis Coded QPSK

 

Θεωρείστε ένα συνελικτικό κώδικα με ρυθμό R=1/2 και με ελάχιστη ελεύθερη απόσταση Hamming ( ) στον οποίο δηλώνουμε τα δύο bits εξόδου του κωδικοποιητή με το διάνυσμα v = ( ). Στο σχήμα 18.3 δείχνουμε 2 τρόπους χαρτογράφησης του διανύσματος v σε αστερισμό QPSK: την Gray και τη φυσική χαρτογράφηση. Η Gray χαρτογράφηση, που αντιστοιχίζει ακολουθίες bits σε γειτονικά σημεία που διαφέρουν μόνο κατά ένα bit, χρησιμοποιείται συχνά σε μη κωδικοποιημένες διαμορφώσεις, οπότε τα πιο πιθανά λάθη συμβόλων που συμβαίνουν μπερδεύοντας το σωστό σύμβολο με τα γειτονικά του θα έχουν ως αποτέλεσμα την εμφάνιση σφάλματος μόνο σε ένα bit. Η φυσική χαρτογράφηση, που αντιστοιχίζει ακολουθίες bits με τη σειρά των ακεραίων που ισοδυναμούν με αυτές, χρησιμοποιείται συχνά σε εφαρμογές με συστήματα TCM που απαιτούν ανοσία σε μετατόπιση της φάσης του φέροντος. Αυτό θα εξεταστεί πιο λεπτομερώς στην παράγραφο 18.4. Κάθε σύμβολο υποθέτουμε ότι έχει μοναδιαίο πλάτος ( και άρα  ), επομένως το τετράγωνο της ελάχιστης απόστασης ανάμεσα στα σημεία είναι .

Για QPSK με Gray χαρτογράφηση βλέπουμε ότι το τετράγωνο της απόστασης ανάμεσα σε όλα τα 4 ζευγάρια σημείων που διαφέρουν κατά  το διάνυσμα-σφάλμα    e = (01) είναι 2 και άρα  για όλα τα v. Ο ΑΕWE (Μέσος Ευκλείδειος Συντελεστής Βάρους) βρίσκεται ως , ο MEWE (Ελάχιστος Ευκλείδειος Συντελεστής Βάρους) είναι  και το EW (Ευκλείδειο Βάρος) είναι . Στον πίνακα 18.3 δίνονται για Gray και φυσική χαρτογράφηση του QPSK τα 4 πιθανά διανύσματα-σφάλματα, τα Hamming βάρη τους (e) και τα 4 AEWEs   και MEWEs  που αντιστοιχούν σε αυτά.

 

Από τον πίνακα 18.3 βλέπουμε ότι όλα τα AEWEs είναι μονώνυμα και ότι για όλα τα e. Τέτοιες χαρτογραφήσεις λέγονται κανονικές. Ακόμη, στην περίπτωση του Gray κώδικα στο QPSK, τα 2 διανύσματα-σφάλματα για τα οποία (e)=1 οδηγούν σε (e)=2 για όλα τα v και το διάνυσμα-σφάλμα για το οποίο (e)=2 οδηγεί σε (e)=4 για όλα τα v, δηλαδή (e)= (e) για όλα τα e και τα v. Με άλλα λόγια υπάρχει  μια γραμμική σχέση ανάμεσα στο τετράγωνο της απόστασης ( SE απόσταση ) και στην απόσταση Hamming. Έτσι, οι συνελικτικοί κώδικες ρυθμού R=1/2 με τη βέλτιστη ελάχιστη ελεύθερη απόσταση Hamming  τη βέλτιστη ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση  όταν συνδυάζονται με QPSK σε Gray κώδικα. Για παράδειγμα η βέλτιστη ελεύθερη απόσταση ενός κώδικα (2,1,2) με , όταν χρησιμοποιείται με QPSK σε Gray χαρτογράφηση, οδηγεί σε μια ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση . Σε σύγκριση με ακωδικοποίητο BPSK με σήματα μοναδιαίας ενέργειας και  , ο κώδικας (2,1,2) δίνει ένα ασυμπτωτικό κέρδος κωδικοποίησης , ακριβώς το ίδιο με την περίπτωση που αυτός ο κώδικας χρησιμοποιείται με BPSK διαμόρφωση.

Για QPSK με φυσική χαρτογράφηση, όμως, η κατάσταση αλλάζει. Τα 2 διανύσματα-σφάλματα για τα οποία (e)=1 δίνουν, για όλα τα v, (e)=2 στη μία περίπτωση και (e)=4 στην άλλη, και το διάνυσμα σφάλματος για το οποίο (e)=2 δίνει για όλα τα v, (e)=2. Mε άλλα λόγια, δεν υπάρχει γραμμική σχέση ανάμεσα στην SE απόσταση και στην απόσταση Hamming όταν χρησιμοποιείται η φυσική χαρτογράφηση. Έτσι, οι παραδοσιακές τεχνικές σχεδίασης κώδικα δε θα δώσουν τους βέλτιστους κώδικες με QPSK σε φυσική χαρτογράφηση.

Συνεχίζοντας με την περίπτωση της φυσικής χαρτογράφησης, ας θεωρήσουμε 2 διαφορετικούς (2,1,2) κώδικες:

 

Κώδικας 1:                                                           (18.14a)

Κώδικας 2:                                                                        (18.14b)

 

Ο κώδικας 1 είναι ο βέλτιστος ελεύθερης απόστασης (2,1,2) κώδικας με , ενώ ο κώδικας 2 δεν είναι βέλτιστος και έχει . Τα διαγράμματα κωδικοποιητή για τους 2 αυτούς κώδικες δίνονται στο σχήμα 18.4(α) και τα διαγράμματα trellis σφάλματος με δυαδικές ταμπέλες δίνονται στο σχήμα 18.4(β). Αντικαθιστώντας τώρα τις ταμπέλες αυτές με τα ΜΕWEs του QPSK με φυσική χαρτογράφηση από τον πίνακα 18.3(b) παρατηρούμε τα τροποποιημένα διαγράμματα trellis του σχήματος 18.4(c). Εξετάζοντας τα διαγράμματα αυτά για minimum βάρους γεγονότα σφάλματος, βλέπουμε ότι   για τον κώδικα 1, που μας δίνει ένα κέρδος κωδικοποίησης  συγκρινόμενο με το ακωδικοποίητο BPSK, ενώ ο κώδικας 2 πετυχαίνει  και . Έτσι, ο κώδικας 2 εμφανώς κατώτερος από τον κώδικα 1 για δυαδική διαμόρφωση ή για QPSK με Gray χαρτογράφηση, είναι καλύτερη επιλογή για QPSK με φυσική χαρτογράφηση.

 

Τα παρακάτω σχόλια αφορούν το παράδειγμα 18.2:

 

  • Η γραμμική σχέση ανάμεσα στην απόσταση Hamming και στην Ευκλείδεια απόσταση σε QPSK με Gray χαρτογράφηση είναι μοναδική ανάμεσα στους μη δυαδικούς αστερισμούς. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, δεν υπάρχει τέτοια γραμμική σχέση και τα καλύτερα TCM σχέδια πρέπει να καθοριστούν σχεδιάζοντας μαζί τον κώδικα και τη χαρτογράφηση του πλέγματος των σημείων-σημάτων.
  • Η μη-γραμμικότητα των περισσότερων TCM συστημάτων προέρχεται από τη συνάρτηση χαρτογράφησης f(.) η οποία δε διατηρεί μια γραμμική σχέση ανάμεσα στην απόσταση Hamming και στην Ευκλείδεια απόσταση.
  • Και οι δύο χαρτογραφήσεις σημάτων στο παράδειγμα 18.2 είναι κανονικές, αυτό σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα σφάλματος e έχει μια μοναδική SE (τετραγωνική Ευκλείδεια) απόσταση συσχετιζόμενη με αυτό και οι AEWEs είναι ίσοι με τους MEWEs για όλα τα e. Για κανονικές χαρτογραφήσεις, η συνάρτηση Ευκλείδειου Συντελεστή Βάρους Α(Χ) του κώδικα είναι ανεξάρτητη της μεταδιδόμενης ακολουθίας. Έτσι, Α(Χ) και   μπορούν να υπολογιστούν με τον ίδιο τρόπο όπως και στους γραμμικούς συνελικτικούς κώδικες με δυαδικά πλέγματα σημάτων, δηλαδή υποθέτοντας ότι μεταδόθηκε η κωδική ακολουθία που αντιστοιχεί σε ακολουθία με όλα τα info bits μηδενικά.
  • Το βασικό βήμα στη σχεδίαση του κώδικα 2 για QPSK με φυσική χαρτογράφηση ήταν να αντιστοιχιστεί το διάνυσμα σφάλματος e = (10) με μέγιστο Ευκλείδειο βάρος στους 2 κλάδους του trellis διαγράμματος που αρχίζουν και συμπίπτουν με την όλα μηδενικά-κατάσταση . Αυτό μας εξασφαλίζει την καλύτερη δυνατή Ευκλείδεια απόσταση στους πρώτους και τελευταίους κλάδους ενός γεγονότος σφάλματος και είναι ένας από τους βασικούς κανόνες σχεδίασης καλών TCM συστημάτων.
  • Κάθε κωδικό κέρδος που αναφέρθηκε σε αυτό το παράδειγμα έγινε με το κόστος της επέκτασης σε φάσμα μιας και τα κωδικά συστήματα έχουν αποδοτικότητα φάσματος  και των ακωδικοποίητων BPSK . Οι περισσότερες από τις συγκρίσεις με ακωδικοποίητα συστήματα στο υπόλοιπο του κεφαλαίου θα περιέχουν TCM σχέδια που δεν απαιτούν επέκταση φάσματος, δηλαδή είναι φασματικά αποδοτικά.
  • Η σχεδίαση καλού ρυθμού R=1/2 κωδίκων για χρήση, με QPSK με φυσική χαρτογράφηση θα επανεξεταστεί στην παράγραφο 18.4, όπου θα ασχοληθούμε με σχέδια κωδίκων σταθερά στην περιστροφή.
  • Το QPSK πλέγμα είναι ισοδύναμο με 2 ανεξάρτητες χρήσεις του BPSK. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί μια απλή μορφή πολυδιάστατου σήματοδοσίας.

 

Παράδειγμα 18.3    4-ΑΜ Trellis κωδικοποιημένο με ρυθμό R=1/2

 

Σε αυτό το παράδειγμα θεωρούμε τους ίδιους συνελικτικούς κώδικες με R=1/2 όπως στο παράδειγμα 18.2, αλλά αυτή τη φορά αντιστοιχίζοντας τα διανύσματα εξόδου του κωδικοποιητή v = ( ) σε ένα μονοδιάστατο 4-ΑΜ σετ σημάτων. Και οι 2 χαρτογραφήσεις Gray και φυσική του 4-ΑΜ σετ σημάτων φαίνονται στο σχήμα 18.5, όπου τα πλάτη των σημάτων είναι τέτοια ώστε η μέση ενέργεια σήματος να είναι  . Χρησιμοποιώντας το σημείο v=(00) ως αναφορά, βλέπουμε ότι υπάρχουν 3 διαφορετικές SE αποστάσεις ανάμεσα στα σημεία σημάτων 4-ΑΜ:

 

                                                   (18.15a)

                                                     (18.15b)

                                                     (18.15c)

 

Προφανώς, η ελάχιστη SE απόσταση ανάμεσα στα σημεία σε αυτήν την περίπτωση είναι .

 

Στον πίνακα 18.4 έχουμε, για Gray και φυσική χαρτογράφηση του 4-ΑΜ, τα 4 πιθανά διανύσματα σφάλματος e και τα 4 AEWEs και MEWEs  που τους αντιστοιχούν. Στο πρόβλημα 18.6 δείχνεται ότι = και στις 2 περιπτώσεις και άρα οι χαρτογραφήσεις είναι ομοιόμορφες. Σημειώνουμε ότι σε κάθε περίπτωση, όμως, υπάρχει ακριβώς ένα διάνυσμα σφάλματος e για το οποίο ο  δεν είναι μονώνυμο και έτσι οι χαρτογραφήσεις δεν είναι κανονικές.

Αν τώρα αντικαταστήσουμε τις δυαδικές ταμπέλες στα διαγράμματα trellis σφάλματος του σχήματος 18.4(b) με τους MEWEs του 4-ΑΜ σε Gray και φυσική χαρτογράφηση από τον πίνακα 18.4, λαμβάνουμε τα τροποποιημένα διαγράμματα trellis σφάλματος των σχημάτων 18.4(d) και 18.4(e) αντίστοιχα. Εξετάζοντάς τα για γεγονότα σφάλματος ελάχιστου βάρους, βλέπουμε ότι για 4-ΑΜ σε Gray κώδικα ( σχήμα 18.4(d))  για τον κώδικα 1, που μας δίνει κωδικό κέρδος συγκρινόμενο με ακωδικοποίητο 2-ΑΜ με μοναδιαία ενέργεια και , ενώ ο κώδικας 2 πετυχαίνει μόνο  και δίνει ένα κωδικό κέρδος . Έτσι, ο κώδικας 1 είναι εμφανώς η καλύτερη επιλογή για 4-ΑΜ σε Gray χαρτογράφηση. Για 4-ΑΜ σε φυσική χαρτογράφηση (σχήμα 18.4(e)), αντιστρέφονται τα πράγματα και η καλύτερη επιλογή είναι ο κώδικας 2 που μας δίνει κωδικό κέρδος  σε σύγκριση με ακωδικοποίητο 2-ΑΜ.

Οι παρακάτω παρατηρήσεις αφορούν το παράδειγμα 18.3:

  • Και στις 2 περιπτώσεις οι χαρτογραφήσεις είναι μη κανονικές, αυτό σημαίνει ότι για κάποια διανύσματα σφάλματος e ο MEWE δεν ισούται με τον AEWE. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση συντελεστή βάρους Α(Χ) του συστήματος TCM αλλάζει ανάλογα με τη μεταδιδόμενη ακολουθία. Παρόλα αυτά, αφού = για όλα τα e και στις 2 περιπτώσεις οι χαρτογραφήσεις είναι ομοιόμορφες και η ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση  μπορεί να υπολογιστεί αντικαθιστώντας τις ταμπέλες e στα δυαδικά διαγράμματα σφάλματος trellis με τους αντίστοιχους MEWEs   και χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της συνάρτησης μεταφοράς.
  • Εξ ορισμού, όλες οι κανονικές χαρτογραφήσεις είναι και ομοιόμορφες, αν και το αντίστροφο δεν ισχύει.
  • Όπως στο παράδειγμα 18.2, το βασικό βήμα για τη σχεδίαση των βέλτιστων κωδίκων για τις 2 χαρτογραφήσεις ήταν να διατεθεί το διάνυσμα σφάλματος με μέγιστο Ευκλείδειο βάρος στους κλάδους του διαγράμματος trellis που αρχίζουν και καταλήγουν στην κατάσταση  .
  • Στο παράδειγμα 18.3, σε αντίθεση με το παράδειγμα 18.2, το κωδικό κέρδος πετυχαίνεται χωρίς επέκταση φάσματος μιας και το κωδικό σετ σημάτων, 4-ΑΜ, έχει τις ίδιες διαστάσεις με το ακωδικοποίητο σετ σημάτων, 2-ΑΜ. Αυτό εξηγεί και το κάπως μικρότερο κωδικό κέρδος, 2.55dB έναντι του 3.98dB, που πετύχαμε στο παράδειγμα 18.3 σε σύγκριση με το παράδειγμα 18.2.

 

Παράδειγμα 18.4     8-PSK Trellis κωδικοποιημένο με ρυθμό R=2/3

 

Ας θεωρήσουμε ένα συνελικτικό κώδικα με ρυθμό R=2/3 με 8 PSK διαμόρφωση στην οποία δηλώνουμε τα 3 bits εξόδου του κωδικοποιητή με το διάνυσμα v = ( ). Στο σχήμα 18.6 αυτά τα 3 bits δείχνονται χαρτογραφημένα σε ένα σετ σημάτων 8-PSK σύμφωνα με φυσική χαρτογράφηση. Κάθε σήμα θεωρείται πάλι ότι έχει μοναδιαία ενέργεια, αλλά σε αυτή την περίπτωση η ελάχιστη SE απόσταση ανάμεσα στα σημεία – σήματα είναι . Έτσι, σε σύγκριση με το QPSK σετ σημάτων με την ίδια μέση ενέργεια, η ελάχιστη SE απόσταση του 8-PSK μειώνεται από 2 σε 0.586.

Στον πίνακα 18.5, έχουμε τα 8 πιθανά διανύσματα σφάλματος e και τους 8 αντίστοιχους AEWEs ,  και , και MEWEs ,  και  για 8-PSK με φυσική χαρτογράφηση. Σε αυτήν την περίπτωση βλέπουμε ότι η φυσική χαρτογράφηση του 8-PSK είναι ομοιόμορφη. ( Στο πρόβλημα 18.8 αποδεικνύεται ότι η Gray χαρτογράφηση του 8-PSK δεν είναι ομοιόμορφη ) Σε αντίθεση με την ομοιόμορφη χαρτογράφηση 8-PSK του σχήματος 18.2(α), όμως, η φυσική χαρτογράφηση έχει μόνο 2 διανύσματα σφάλματος που δίνουν διαφορετικές Ευκλείδειες αποστάσεις. Συγκεκριμένα, για φυσική χαρτογράφηση τα διανύσματα σφάλματος e=(011) και e=(111) δίνουν (e)=0.586 ή 3.414, ενώ τα υπόλοιπα 6 διανύσματα σφάλματος αντιστοιχούν σε μία μόνο Ευκλείδεια απόσταση.

Ας θεωρήσουμε τώρα αρκετούς δυνατούς σχεδιασμούς κωδίκων για 8-PSK με φυσική χαρτογράφηση και ας υπολογίσουμε τις ελάχιστες ελεύθερες SE αποστάσεις τους χρησιμοποιώντας το διάγραμμα trellis όπου αντικαταστάθηκαν οι δυαδικές ταμπέλες με τα MEWEs. Ξεκινούμε με ένα συνελικτικό κώδικα ρυθμού R=2/3 του οποίου ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας σε μορφή συστηματικής ανάδρασης είναι:

 

Η(D)=[ 1/()       ()/()           1 ].                          (18.16)

 

Αυτός είναι ο κώδικας (3,2,1) με βέλτιστη ελεύθερη απόσταση με μήκος εξαναγκασμού ν=2 και . Το διάγραμμα του κωδικοποιητή φαίνεται στο σχήμα 18.7(α) το διάγραμμα trellis δυαδικού σφάλματος  καταστάσεων δίνεται στο σχήμα 18.7(b) και το τροποποιημένο διάγραμμα trellis σφάλματος με ταμπέλες τους MEWEs για 8-PSK με φυσική χαρτογράφηση φαίνεται στο σχήμα 18.7(c).

Από το σχήμα 18.7(c) διαπιστώνουμε ότι το μη μηδενικό μονοπάτι που συνδέεται με την ακολουθία των καταστάσεων  δίνει μια ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση . Επειδή αυτό το TCM πλαίσιο έχει φασματική απόδοση , το κατάλληλο μη κωδικοποιημένο σύστημα με το οποίο πρέπει να το συγκρίνουμε είναι το QPSK με μέση ενέργεια σήματος . Για αυτό το σετ σημάτων, και έτσι το TCM με φυσική χαρτογράφηση υφίσταται μια κωδική απώλεια  σε αυτήν την περίπτωση.

Τώρα αναρωτιόμαστε: Είναι δυνατόν να πετύχουμε ένα θετικό κωδικό κέρδος χωρίς επέκταση στο φάσμα με 8-PSK σε φυσική χαρτογράφηση και κώδικα 4 καταστάσεων με ρυθμό R=2/3? Επειδή το σετ σημάτων του 8-PSK με φυσική χαρτογράφηση είναι μη κανονικό, μπορούμε να βρούμε ένα καλύτερο TCM πλαίσιο λαμβάνοντας μη βέλτιστους κώδικες ρυθμού R=2/3. Επιπλέον, μπορούμε να θεωρήσουμε έναν κωδικό ρυθμού R=1/2 με ένα ακωδικοποίητο info bit ως ισοδύναμο με έναν κώδικα ρυθμού R=2/3, δηλαδή και οι δύο έχουν φασματική απόδοση  όταν συνδυάζονται με 8-PSK διαμόρφωση. Για να δείξουμε αυτήν την τελευταία προσέγγιση, θεωρούμε τους 2 κώδικες (2,1,2) που είχαμε και στο παράδειγμα 18.2, αν και αυτή τη φορά περιλαμβάνουμε και ένα ακωδικοποίητο info bit και χρησιμοποιούμε τη μορφή συστηματικής ανάδρασης των κωδικοποιητών. Έτσι, οι γεννήτορες πίνακες ρυθμού R=1/2  δίνονται από τις

Κώδικας 1:  [  1  /  ]                                            (18.17a)

Κώδικας 2:  [  1  /  ].                                                           (18.17b)

Τα διαγράμματα κωδικοποίησης των 2 αυτών κωδίκων δίνονται στα σχήματα 18.8(α) και 18.9(α), τα δυαδικά διαγράμματα trellis σφάλματος δίνονται στα σχήματα 18.8(b) και 18.9(b) και τα τροποποιημένα διαγράμματα trellis σφάλματος με ταμπέλες τα MEWEs για 8-PSK με φυσική χαρτογράφηση δίνονται στα σχήματα 18.8(c) και 18.9(c) αντίστοιχα. Το ακωδικοποίητο info bit το χρησιμοποιούμε προσθέτοντας μια παράλληλη μετάβαση σε κάθε κλάδο στο δυαδικό διάγραμμα trellis του κώδικα με ρυθμό R=1/2. Έτσι, υπάρχουν 2 κλάδοι που ενώνουν κάθε ζευγάρι καταστάσεων στο δυαδικό trellis διάγραμμα σφάλματος, ένας για κάθε μία από 2 δυνατές τιμές του ακωδικοποίητου bit. Ακολουθούμε τη σύμβαση ότι το 1ο bit της ακολουθίας που αντιστοιχεί σε κάθε κλάδο του δυαδικού διαγράμματος trellis σφάλματος είναι το ακωδικοποίητο bit. Στο τροποποιημένο διάγραμμα trellis σφάλματος, δείχνουμε μόνο έναν κλάδο που να συνδέει ένα ζευγάρι καταστάσεων και αυτό γιατί έχει την ίδια δομή όπως το διάγραμμα trellis του κώδικα με ρυθμό R=1/2 αλλά η κάθε ταμπέλα του είναι η ταμπέλα ελάχιστου βάρους των 2 MEWEs που αντιστοιχούν σε κάθε ζευγάρι παράλληλων κλάδων στο δυαδικό διάγραμμα trellis σφάλματος. Για παράδειγμα στο σχήμα 18.8(b) οι 2 παράλληλοι κλάδοι που ενώνουν την κατάσταση  με τον εαυτό της δυαδικό διάγραμμα trellis σφάλματος έχουν τις ταμπέλες (000) και (100). Έτσι, στο σχήμα 18.8(c), οι 2 MEWEs που αντιστοιχούν σε αυτές είναι    και  και ο μονός κλάδος που συνδέει την κατάσταση με τον εαυτό της έχει την ταμπέλα .

 

 

Για κάθε TCM πλάνο με παράλληλες μεταβάσεις, ο υπολογισμός της ελάχιστης ελεύθερης SE απόστασης περιλαμβάνει 2 όρους: (1) την ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση ανάμεσα σε διακριτά μονοπάτια trellis μακρύτερα του ενός κλάδου και (2) την ελάχιστη SE απόσταση ανάμεσα σε διακριτά μονοπάτια trellis με μήκος έναν κλάδο. Επειδή η είναι η ελεύθερη απόσταση ανάμεσα σε μονοπάτια trellis που έχουν να κάνουν με κωδικοποιημένα bits, μπορεί να υπολογιστεί από διαγράμματα trellis σφάλματος με τους MEWEs. Επειδή, η  από την άλλη είναι η ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στις παράλληλες μεταβάσεις που έχουν να κάνουν με ακωδικοποίητα bits, πρέπει να κωδικοποιηθεί ξεχωριστά. Οπότε, η ολική ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση δίνεται από την

.                                                                              (18.18)

 

 

Παράδειγμα 18.4  (Συνέχεια)

 

Η απόσταση  παράλληλης μετάβασης είναι ανεξάρτητη του κώδικα και εξαρτάται μόνο από τη χαρτογράφηση που χρησιμοποιείται. Από τα σχήματα 18.8(b) και 18.9(b) είναι εμφανές ότι οι ταμπέλες των παράλληλων κλάδων πάντα διαφέρουν κατά το διάνυσμα σφάλματος (100). Έτσι, από τον πίνακα 18.5, συμπεραίνουμε ότι =4. Τώρα, μπορούμε να δούμε από τα σχήματα 18.8(c) και 18.9(c) ότι  για τον κώδικα 1 και  για τον κώδικα 2.

Έτσι, έχουμε:

                (κώδικας 1)     και     (18.19a)

 

                          (κώδικας 2)           (18.19b)

και οι ασυμπτωτικές κωδικές απώλειες (κέρδη) συγκρίνονται με ακωδικοποίητο QPSK με  για τον κώδικα 1 και  για τον κώδικα 2. για τους 3 διαφορετικούς κώδικες που θεωρήσαμε σε αυτό το παράδειγμα η καλύτερη απόδοση και το μοναδικό κωδικό κωδικό κέρδος πετυχαίνεται από το μη βέλτιστο (με όρους ) κώδικα ρυθμού R=1/2 με ένα ακωδικοποίητο bit. Αυτός ο απλός κώδικας 4 καταστάσεων πετυχαίνει κωδικό κέρδος 3.01 dB σε σύγκριση με ακωδικοποίητο QPSK χωρίς φασματική επέκταση. (Το Πρόβλημα 18.9 δείχνει ότι με άλλες χαρτογραφήσεις για σήμα 8-PSK παίρνουμε μικρότερο κωδικό κέρδος από τη φυσική χαρτογράφηση.)

 

 

Οι παρακάτω παρατηρήσεις αφορούν το παράδειγμα 18.4:

 

  • Όλες οι χαρτογραφήσεις για σετ σημάτων 8-PSK είναι μη κανονικές. Επομένως, η συνάρτηση συντελεστών βάρους Α(Χ) εξαρτάται από τη μεταδιδόμενη ακολουθία κώδικα για όλα τα TCM συστήματα που βασίζονται σε 8-PSK. Παρόλα αυτά αν η χαρτογράφηση είναι ομοιόμορφη η συνάρτηση συντελεστών μέσου βάρους  μπορεί να υπολογιστεί ονοματίζοντας τους κλάδους του διαγράμματος trellis σφάλματος με τους AEWEs και χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της συνάρτησης μεταφοράς.
  • Εικονικά όλα τα σετ σημάτων και οι χαρτογραφήσεις που χρησιμοποιούνται σε πρακτικά TCM συστήματα είναι μη κανονικές, αν και συμμετρίες συνήθως υπάρχουν που επιτρέπουν μια ομοιόμορφη χαρτογράφηση.
  • Οι MEWEs μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογίσουμε την ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση των TCM συστημάτων με ομοιόμορφες χαρτογραφήσεις, όπως δείχνεται στα παραδείγματα 18.2, 18.3 και 18.4, όμως για να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση συντελεστών μέσου βάρους  , πρέπει να χρησιμοποιηθούν οι AEWEs όπως δείξαμε στην παράγραφο 18.3.
  • Το βασικό πλεονέκτημα ενός 8-PSK με φυσική χαρτογράφηση έναντι άλλων ομοιόμορφων χαρτογραφήσεων του 8-PSK είναι ότι το διάνυσμα σφάλματος για όλες τις παράλληλες μεταβάσεις, e=(100), διατίθεται για το μεγαλύτερο δυνατό Ευκλείδειο βάρος (EW), (e)=4, σύμφωνα με τη φυσική χαρτογράφηση (βλέπε Πρόβλημα 18.9). Με άλλα λόγια, για 8-PSK, η ελάχιστη SE απόσταση ανάμεσα σε σημεία-σήματα σε μονοπάτια παράλληλης μετάβασης μεγιστοποιείται για τη φυσική χαρτογράφηση, ελαχιστοποιώντας έτσι την πιθανότητα γεγονότος σφάλματος σε έναν κλάδο.
  • Μια εξαντλητική έρευνα για όλα τα πιθανά TCM πλάνα με 8-PSK και με  και 4 καταστάσεις έδειξε ότι το καλύτερο πλάνο είναι ο κώδικας 2 στο παράδειγμα 18.4, δηλαδή ο μη βέλτιστος κώδικας ρυθμού R=1/2 με ένα ακωδικοποίητο bit σε συνδυασμό με φυσική χαρτογράφηση. Αυτό δείχνει ότι, σε αντίθεση με τη σχεδίαση κωδίκων για δυαδική διαμόρφωση, τα καλύτερα TCM σχέδια συχνά περιλαμβάνουν ακωδικοποίητα info bits που μας δίνουν παράλληλες μεταβάσεις στα διαγράμματα trellis. ( Αν ακωδικοποίητα bits χρησιμοποιηθούν για τη σχεδίαση κωδίκων για δυαδική διαμόρφωση, η ελάχιστη ελεύθερη απόσταση Hamming ποτέ δεν θα μπορεί να υπερβεί την ελάχιστη απόσταση Hamming ανάμεσα σε κλάδους παράλληλης μετάβασης, που είναι 1. )
  • Όλοι οι κωδικοποιητές στο παράδειγμα 18.4 δόθηκαν σε μορφή συστηματικής ανάδρασης. Ισοδύναμοι μη συστηματικοί feedforward κωδικοποιητές μπορούν να μας δώσουν ελαφρώς διαφορετική απόδοση BER εξαιτίας της διαφορετικής χαρτογράφησης (στον κωδικοποιητή) ανάμεσα στα info bits και στα κωδικά. Οι κωδικοποιητές συστηματικής ανάδρασης συχνά προτιμούνται στη σχεδίαση TCM συστημάτων γιατί αντιπροσωπεύουν μια βολική κανονική μορφή για δημιουργία κωδικοποιητών ελάχιστου ρυθμού R=k/(k+1) με όρους εξίσωσης ενός μόνο ελέγχου ισοτιμίας. Αυτή η κανονική μορφή απλοποιεί την έρευνα για βέλτιστους κωδικοποιητές.
  • Μεγαλύτερα κωδικά κέρδη μπορούν να επιτευχθούν χρησιμοποιώντας ισχυρότερους κώδικες, δηλαδή με μεγαλύτερα μήκη εξαναγκασμού. Πίνακες με τους σχεδιασμούς των βέλτιστων TCM κωδίκων για ένα πλήθος σημαντικών αστερισμών σημάτων δίνονται στην παράγραφο 18.2

 

Ο κώδικας ρυθμού R=k/(k+1) μας εξασφαλίζει ότι εάν η χαρτογράφηση είναι ομοιόμορφη, κάθε ακολουθία σφάλματος e(D) στο δυαδικό διάγραμμα trellis σφάλματος με ένα δεδομένο Ευκλείδειο βάρος  [e(D)] αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι ακολουθιών σήματος y(D) και y′(D) στο διάγραμμα trellis που απέχουν κατά μια ελεύθερη τετραγωνική Ευκλείδεια απόσταση [e(D)]. Σε αυτήν την περίπτωση, η ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση ενός TCM συστήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των Ευκλείδειων βαρών. Όμως, εάν η χαρτογράφηση δεν είναι ομοιόμορφη, η χρήση ενός κώδικα με ρυθμό R=k/(k+1) δεν είναι σωστή, και η μέθοδος των Ευκλείδειων βαρών θα δώσει γενικά μόνο ένα κάτω όριο του ακριβούς . Αυτό φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα.

 

 

Παράδειγμα 18.5               Ανομοιόμορφες χαρτογραφήσεις

 

Θεωρείστε τις 2 ανομοιόμορφες χαρτογραφήσεις του 8-PSK που φαίνονται στα σχήματα 18.2(b) και 18.2(c), μαζί με τους AEWEs και MEWEs που δίνονται στους πίνακες 18.2(b) και 18.2(c). Αν αυτές οι χαρτογραφήσεις χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με τον κώδικα 2 από το Παράδειγμα 18.4, του οποίου το διάγραμμα κωδικοποιητή και το δυαδικό διάγραμμα trellis σφάλματος δίνονται στα σχήματα 18.9(a) και 18.9(b), αντίστοιχα, λαμβάνουμε τα τροποποιημένα διαγράμματα trellis σφάλματος του σχήματος 18.10.

Αρχικά, ας θεωρήσουμε την ανομοιόμορφη χαρτογράφηση του σχήματος 18.2(b) και του πίνακα 18.2(b), στην οποία δεν υπάρχει ισομετρία ανάμεσα στα υποσύνολα Q(0) και Q(1). Έστω e(D)= ένα μονοπάτι στο δυαδικό διάγραμμα trellis σφάλματος του σχήματος 18.9(b) που ξεκινά και καταλήγει στην κατάσταση . Από το τροποποιημένο διάγραμμα trellis σφάλματος του σχήματος 18.10(a), μπορούμε να υπολογίσουμε το ΕW (Ευκλείδειο βάρος) του e(D) ως εξής:

 

[e(D)]=0.586+0.586+0.586+0.586=2.344.                                                    (18.20)

Για να είναι ικανοποιητική η χρήση του κώδικα με ρυθμό R=k/(k+1), πρέπει να υπάρχει ένα ζευγάρι διαδρομών στο διάγραμμα trellis με 4 κλάδους η κάθε μία, v(D) και v′(D), που αρχίζουν και τελειώνουν στην ίδια κατάσταση, διαφέρουν κατά τη διαδρομή σφάλματος e(D) και των οποίων οι αντίστοιχες ακολουθίες σήματος y(D) και y′(D) απέχουν μεταξύ τους 2.344. Από το σχήμα 18.2(b) και τον πίνακα 18.2(b) βλέπουμε ότι το επιθυμητό ζευγάρι διαδρομών πρέπει να αρχίσει με τους κλάδους  και , μιας και αυτό είναι το μοναδικό ζευγάρι δυαδικών ταμπελών έτσι ώστε  , και [f(),f()]==0.586. ( Οι κλάδοι που εκχωρήθηκαν στα   και  μπορούν να αναστραφούν χωρίς να αλλάξει το αποτέλεσμα ) Επομένως, από το σχήμα 18.9(b), το ζευγάρι διαδρομών πρέπει να αρχίζει είτε από την κατάσταση   είτε από την κατάσταση  . Ομοίως τα επόμενα 3 ζευγάρια ταμπελών των κλάδων πρέπει να είναι  και ,  και και  και  (ή το αντίστροφο αυτών των ταμπελών) για να ικανοποιήσουμε τις συνθήκες απόστασης, αλλά μια καλύτερη εξέταση του σχήματος 18.9(b) αποκαλύπτει ότι κανένα ζευγάρι διαδρομών με αυτές τις ταμπέλες που να αρχίζει είτε από την  είτε από την  δεν υπάρχει στο διάγραμμα trellis. Έτσι, είναι αδύνατο να βρούμε ένα ζευγάρι διαδρομών v(D) και v′(D), που να αρχίζει και να τελειώνει στην ίδια κατάσταση, να διαφέρει κατά τη διαδρομή σφάλματος e(D) και των οποίων οι αντίστοιχες ακολουθίες σήματος y(D) και y′(D) να απέχουν κατά 2.344, επομένως η χρήση του κωδικού με ρυθμό R=k/(k+1) δεν είναι εφικτή.

Κατόπιν, ας θεωρήσουμε την ανομοιόμορφη χαρτογράφηση του σχήματος 18.2(c) και του πίνακα 18.2(c), στην οποία υπάρχει μια ισομετρία ανάμεσα στα υποσύνολα Q(0) και Q(1). Έστω e(D)=  ένα μονοπάτι στο δυαδικό διάγραμμα trellis σφάλματος του σχήματος 18.9(b) που αρχίζει και καταλήγει στην κατάσταση . Από το τροποποιημένο διάγραμμα trellis σφάλματος του σχήματος 18.10(b) μπορούμε να υπολογίσουμε το EW του e(D) ως εξής:

 

[e(D)]=2+0.586+2+0.586+2=7.172.                                                               (18.21)

 

Για να είναι ικανοποιητική η χρήση κωδικού με ρυθμό R=k/(k+1), πρέπει να υπάρχει ένα ζευγάρι διαδρομών στο διάγραμμα trellis με 5 κλάδους η κάθε μία, v(D) και v′(D), που αρχίζουν και τελειώνουν στην ίδια κατάσταση, διαφέρουν κατά τη διαδρομή σφάλματος e(D) και των οποίων οι αντίστοιχες ακολουθίες σήματος y(D) και y′(D) απέχουν μεταξύ τους 7,172. Από το σχήμα 18.2(c) και τον πίνακα 18.2(c) βλέπουμε ότι το επιθυμητό ζευγάρι διαδρομών πρέπει να αρχίσει με το ζευγάρι κλάδων  και  ή με το  και , μιας και αυτά είναι τα μοναδικά ζευγάρια δυαδικών ταμπελών έτσι ώστε  , και [f(),f()]==2. Από το σχήμα 18.9(b) βλέπουμε ότι το ζευγάρι διαδρομών πρέπει να αρχίζει είτε από την κατάσταση  είτε από την  και στις 2 περιπτώσεις. Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, τα επόμενα 4 ζευγάρια δυαδικών ταμπελών είναι ομοίως υποχρεωμένα να πληρούν τις συνθήκες απόστασης. Είναι εμφανές ότι υπάρχει μόνο ένα δυνατό ζευγάρι κλάδων που να αντιστοιχεί στο διάνυσμα σφάλματος , αλλά υπάρχουν 2 δυνατά ζευγάρια κλάδων που να αντιστοιχούν σε διανύσματα σφάλματος  και . Και πάλι, μια πιο προσεκτική εξέταση του σχήματος 18.9(b) μας αποκαλύπτει ότι κανένα ζευγάρι των διαδρομών με αυτές τις ταμπέλες που να αρχίζει από την κατάσταση  ή από την  δεν υπάρχει στο διάγραμμα trellis. Επομένως, είναι αδύνατο να βρούμε ένα ζευγάρι διαδρομών v(D) και v′(D) που να αρχίζει και να τελειώνει στην ίδια κατάσταση και να διαφέρουν μεταξύ τους κατά τη διαδρομή σφάλματος e(D) και των οποίων οι αντίστοιχες ακολουθίες σήματος y(D) και y′(D) να απέχουν 7.172. Επομένως και πάλι η χρήση του κωδικού με ρυθμό R=k/(k+1) δεν είναι εφικτή.

 

 

Το παράδειγμα 18.5 μας οδηγεί στις εξής παρατηρήσεις:

  • Όταν η χαρτογράφηση είναι ανομοιόμορφη, υπάρχουν πολλές ακολουθίες σφάλματος για τις οποίες η χρήση κώδικα με ρυθμό R=k/(k+1) είναι εφικτή, όμως το παράδειγμα 18.5 μας δείχνει αυτό δεν ισχύει για όλες τις ακολουθίες σφάλματος.
  • Το παράδειγμα 18.5 δείχνει ότι η ισομετρία ανάμεσα στα υποσύνολα Q(0) και Q(1) είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής, για να εξασφαλίσουμε ότι η χρήση του κώδικα με ρυθμό R=k/(k+1) είναι δυνατή. Δες το πρόβλημα 18.10 ως ένα παράδειγμα όπου φαίνεται ακριβώς αυτό αν και χρησιμοποιεί διαφορετικό αστερισμό.
  • Επειδή η χρήση κώδικα με ρυθμό R=k/(k+1) δεν είναι δυνατή για ανομοιόμορφες χαρτογραφήσεις, η μέθοδος των Ευκλείδειων βαρών μας παρέχει μόνο ένα κάτω όριο του    σε αυτήν την περίπτωση. Αυτό ισχύει και για τη μέθοδο που περιγράφηκε στην παράγραφο 18.3 για τον προσδιορισμό της συνάρτησης  ενός TCM συστήματος από τους AEWEs.
  • Η χρήση μιας ανομοιόμορφης χαρτογράφησης δε συνεπάγεται απαραίτητα ένα κατώτερο TCM σύστημα, απλά ένα το οποίο είναι δυσκολότερο να αναλύσουμε. Σε αυτήν την περίπτωση, ένα υπερ-διάγραμμα trellis   καταστάσεων πρέπει να χρησιμοποιηθεί για να προσδιορίσουμε το σύνολο των αποστάσεων ανάμεσα σε όλα τα πιθανά ζευγάρια διαδρομών. Παρόλα αυτά, οι ομοιόμορφες χαρτογραφήσεις οδηγούν σε καλύτερους σχεδιασμούς για περισσότερο πρακτικά TCM συστήματα (βλέπε Πρόβλημα 18.11).
  • Μια πιο αυστηρή συνθήκη ομοιομορφίας, που ονομάζεται γεωμετρική ομοιομορφία, παρουσιάστηκε από τον Forney [23]. Όταν αυτή η συνθήκη ικανοποιείται ο υπολογισμός συναρτήσεων συντελεστών βάρους απλοποιείται, αλλά πολλά πρακτικά TCM συστήματα δεν είναι γεωμετρικά ομοιόμορφα.

Τα παραδείγματα 18.2, 18.3 και 18.4 δείχνουν 2 βασικούς κανόνες σχεδιασμού καλών TCM συστημάτων:

 

1ος Κανόνας: Η χαρτογράφηση του σετ των σημάτων πρέπει να σχεδιάζεται έτσι ώστε η ελάχιστη SE απόσταση ανάμεσα σε κλάδους παράλληλης μετάβασης να μεγιστοποιείται.

2ος Κανόνας: Ο συνελικτικός κώδικας πρέπει να σχεδιάζεται έτσι ώστε οι κλάδοι στο τροποποιημένο διάγραμμα trellis που αφήνουν και εισέρχονται στην ίδια κατάσταση να έχουν τη μεγαλύτερη δυνατή ελάχιστη SE απόσταση.

 

Ένα γενικό block διάγραμμα ενός TCM συστήματος φαίνεται στο σχήμα 18.11. Ανά μονάδα χρόνου , ένα σύνολο k info bits, , εισέρχονται στο σύστημα. Από αυτά, ένα σύνολο  bits, δηλαδή , εισέρχονται σε έναν συνελικτικό συστηματικό κωδικοποιητή ανάδρασης με ρυθμό R=, που παράγουν τα bits εξόδου ,όπου  είναι το bit ισοτιμίας και  τα bits πληροφορίας. Αυτά τα  bits εισάγονται στο χαρτογράφο σημάτων μαζί με τα  ακωδικοποίητα info bits . Εν τέλει, το διάνυσμα με k+1 bits  χαρτογραφείται σε ένα από τα  πιθανά σημεία στο σετ σημείων – σημάτων S. Αν , τότε δε θα υπάρχουν ακωδικοποίητα info bits και καμιά παράλληλη μετάβαση στο διάγραμμα trellis.

Στην επόμενη παράγραφο θα εξετάσουμε μια τεχνική που ονομάζεται χαρτογράφηση με διαχωρισμό του συνόλου των σημείων-σημάτων [1] στην οποία τα  κωδικοποιημένα bits   χρησιμοποιούνται για να επιλέξουμε ένα υποσύνολο μεγέθους    από το σύνολο σημάτων S, και μετά τα  ακωδικοποίητα bits  χρησιμοποιούνται για να διαλέξουμε ένα συγκεκριμένο σημείο από το επιλεγμένο υποσύνολο. Έτσι, μια διαδρομή μέσα στο διάγραμμα trellis δηλώνει μια συγκεκριμένη ακολουθία επιλογής υποσυνόλων, και οι  παράλληλες μεταβάσεις που συνδέονται με κάθε κλάδο του διαγράμματος trellis δηλώνουν την επιλογή σημείων μέσα στο αντίστοιχο υποσύνολο. Αυτή η τεχνική χαρτογράφησης μας επιτρέπει το σχεδιασμό TCM συστημάτων που ικανοποιούν τους 2 βασικούς κανόνες σχεδίασης που είδαμε πρωτύτερα.

 

18.2          ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΩΔΙΚΑ TCM

 

Υπάρχουν τρία βασικά στάδια στον σχεδιασμό ενός συστήματος TCM:

          

            1. Επιλογή αστερισμού(συνόλου) σημάτων

            2.Αντιστοίχηση κωδικών λέξεων στα σημεία του αστερισμού

            3.Επιλογή κώδικα

 

Ένας αστερισμός σημάτων επιλέγεται,πρωτίστως, για να ικανοποιεί τους περιορισμούς σε απόδοση εύρους ζώνης(φάσματος) και στο σχεδιασμό του διαμορφωτή.Για παράδειγμα,εάν επιθυμούμε απόδοση εύρους ζώνης  η=k bits/σύμβολο,τότε θα πρέπει να επιλέξουμε έναν αστερισμό με  σημεία. Ομοίως,έαν,εξαιτίας μη-γραμμικότητας στο κανάλι,είναι επιθυμητός ένας αστερισμός σταθερού πλάτους,τότε θα πρέπει να επιλεγεί ένας PSK.Εάν είναι δυνατή η διαμόρφωση πλάτους ,τότε ένας τετραγωνικός ή QAM αστερισμός θα είχε καλύτερη απόδοση.Διάφοροι αστερισμοί σήματος φαίνονται στο Σχήμα 18.1.Σαν παράδειγμα, θεωρήστε ένα γραμμικό κανάλι και φασματική απόδοση η=4 bits/σύμβολο,δηλαδή τις προδιαγραφές του προτύπου CCITT V.32 για modem, το οποίο μπορεί να επιτύχει ρυθμούς δεδομένων μέχρι 14.4 Kbps διαμέσου τηλεφωνικής γραμμής.Στην περίπτωση αυτή,επιλέχθηκε να εφαρμοστεί ο 32-CROSS αστερισμός.

           Το επόμενο βήμα στο σχεδιασμό είναι η ανάθεση δυαδικών κωδικών λέξεων,που αντιπροσωπεύουν μπλόκ εξόδου του κωδικοποιητή, στα σημεία του αστερισμού με τέτοιον τρόπο,ώστε να μεγιστοποιηθεί η MFSE απόσταση  ολόκληρου του συστήματος TCM.Αυτό γίνεται εφαρμόζοντας μια τεχνική που ονομάζεται αντιστοίχηση μέσω διαχωρισμού συνόλων [1].Η τεχνική αυτή διαχωρίζει επιτυχώς το σύνολο των σημάτων σε μικρότερα υποσύνολα ίσου μεγέθους, δημιουργώντας έτσι μια δομή δέντρου,στην οποία κάθε σημείο του αστερισμού αντιπροσωπεύει μια μοναδική διαδρομή στο δέντρο.Εάν χρησιμοποιήσουμε δυαδικό διαχωρισμό,δηλαδή σε κάθε επίπεδο του δέντρου διαχωρισμού κάθε υποσύνολο του προηγούμενου επιπέδου διαιρείται σε δύο υποσύνολα ίδιου μεγέθους,τότε το δέντρο θα έχει k +1 επίπεδα.Έτσι,κάθε διαδρομή στο δέντρο θα εκπροσωπείται από μία κωδική λέξη  k +1 bits,η οποία μπορεί να αντιστοιχηθεί στο αντίστοιχο σημείο του αστερισμού.Προκειμένου να μεγιστοποιήσουμε την , ο διαχωρισμός θα πρέπει να γίνει με τέτοιον τρόπο ώστε να τηρούνται οι δύο βασικοί κανόνες για καλή σχεδίαση συστήματος TCM που αναφέρθηκαν στο Κεφάλαιο 18.1.Αυτοί απαιτούν να μεγιστοποιείται η ελάχιστη τετραγωνική απόσταση υποσυνόλων (MSSD) σε κάθε επίπεδο p του δέντρου διαχωρισμού.Η προσέγγιση αυτή αναλύεται στα δύο παρακάτω παραδείγματα.

 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18.6                             Δαιχωρισμός του 8-PSK

 

Θεωρήστε το δέντρο δυαδικού διαχωρισμού για το 8-PSK σήμα το οποίο φαίνεται στο Σχήμα 18.12.Το Επίπεδο 0 του δέντρου διαχωρισμού περιλαμβάνει ολόκληρο τον 8-PSK αστερισμό του συνόλου σημάτων S.Θεωρώντας σήματα μοναδιαίας ενέργειας, η MSSD στο Επίπεδο 0 υπολογίστηκε στην σχέση (18.10α) και σημειώνεται ως =0.586.(Η  είναι η ίδια με την  που ορίστηκε προηγουμένως,δηλαδή την MSE απόσταση μεταξύ σημείων ενός αστερισμού.Ο όρος  δείχνει ότι αυτή η απόσταση αντιστοιχεί στην MSSD απόσταση στο επίπεδο 0 του δέντρου διαχωρισμού.) Έπειτα το  bit (LSB) της κωδικής λέξης διαιρεί/χωρίζει τον αστερισμό του συνόλου σημάτων S σε δύο υποσύνολα,=Q(0) και Q(1),καθένα από τα οποία περιέχει τέσσερα σημεία στον αστερισμό του,ούτως ώστε η MSSD στα δύο υποσύνολα στο Επίπεδο 1 να είναι ίση με =2.0.Είναι σημαντικό να αναδείξουμε δύο ιδιότητες αυτού του διαχωρισμού:

 

        1. Αυτός ο διαχωρισμός του 8-PSK σε δύο ίσου μεγέθους υποσύνολα επιτυγχάνει τη μεγαλύτερη MSSD.

        2.   Το υποσύνολο Q(0) είναι ισομορφικό ως προς το Q(1),με την έννοια ότι το Q(1) μπορεί να προκύψει από περιστροφή του Q(0) κατά 45.

 

         Αυτές οι δύο ιδιότητες του διαχωρισμού του 8-PSK,συγκεκριμένα, η μεγιστοποίηση της MSSD και η διατήρηση της ισομετρίας ανάμεσα σε όλα τα υποσύνολα του ίδιου επιπέδου, είναι χαρακτηριστικές των περισσοτέρων πρακτικών διαχωρισμών.Η ιδιότητα της ισομετρίας υπονοεί ότι οι MSSD είναι ίσες για όλα τα υποσύνολα του ιδίου επιπέδου.

          Συνεχίζοντας το παράδειγμα, παρατηρούμε ότι το  bit της κωδικής λέξης διαιρεί τώρα το καθένα από τα υποσύνολα Q(0) και Q(1) του επιπέδου 1 σε δύο νέα στο επίπεδο 2,το καθένα από τα οποία περιέχει δύο σημεία στον αστερισμό του και ισχύει =4.0 για το κάθε υποσύνολο.Βλέπουμε ξανά στο επίπεδο 2 ότι η MSSD έχει αυξηθεί και ότι και τα τέσσερα υποσύνολα είναι ισομορφικά και έχουν την ίδια MSSD.Τα τέσσερα υποσύνολα σημειώνονται σαν =Q(00), Q(10),  Q(01) και Q(11), που αντιπροσωπεύουν τους τέσσερεις δυνατούς συνδυασμούς τις κωδικής λέξης .Τέλος, το  bit της κωδικής λέξης διαιρεί καθένα από τα υποσύνολα  του επιπέδου 2 σε δύο νέα στο επίπεδο 3, το καθένα από τα οποία περιέχει ένα σημείο στον αστερισμό του.Αυτό είναι το κατώτερο σημείο του δέντρου διαχωρισμού και η MSSD σε αυτό το επίπεδο είναι άπειρη.Τα οκτώ υποσύνολα του επιπέδου 3, =Q(000) , Q(100) , Q(010) , Q(110) , Q(001) , Q(101) , Q(111) και Q(011) αντιπροσωπεύονται από μία μοναδική λέξη  η οποία αντιστοιχεί σε μία διαδρομή μέσα στο δέντρο διαχωρισμού.Αυτή η κωδική λέξη ,έπειτα, ορίζει την αντιστοίχηση(mapping) του block εξόδου του κωδικοποιητή των 3 bits στο αντίστοιχο σημείο του 8-PSK αστερισμού.

           Όπως σημειώθηκε στο Κεφάλαιο 18.1, ένα TCM σύστημα που χρησιμοποιεί 8-PSK μπορεί να χρησιμοποιήσει είτε έναν κώδικα ρυθμού R=2/3 είτε έναν κώδικα ρυθμού R=1/2 με ένα μη-κωδικοποιημένο bit.Προκειμένου να περιγράψουμε καλύτερα τη διαδικασία σχεδιασμού του κώδικα, θα  θεωρήσουμε στο παράδειγμα αυτό έναν κώδικα 4 καταστάσεων με ρυθμό R=1/2 και ένα μη-κωδικοποιημένο bit.Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούνται μόνο τα δύο επίπεδα του δέντρου διαχωρισμού και άρα το καθένα από τα τέσσερα υποσύνολα του επιπέδου 2,δηλαδή τα  Q(00), Q(10),  Q(01) και Q(11) θα περιέχει δύο σημεία στον αστερισμό του με απόσταση =4.0 μεταξύ τους.Στην αρχή, χρησιμοποιούνται τα δύο κωδικοποιημένα bits  για να διαλέξουμε υποσύνολο και έπειτα το μη-κωδικοποιημένο bit  για να επιλέξουμε το σήμα που θα αποσταλλεί.Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε κλάδο στον κώδικα trellis, που αναπαριστά μια παράλληλη μετάβαση, ανατίθεται ένα από τα υποσύνολα του επιπέδου 2  Q(00), Q(10),  Q(01) ή Q(11) με απόσταση υποσυνόλων =4.0.Να σημειωθεί ότι, εφόσον η  μεγιστοποιήθηκε μέσα από τη διαδικασία διαχωρισμού αυτό εγγυάται ότι η MSE απόσταση  ανάμεσα στους παράλληλους κλάδους μετάβασης είναι μέγιστη,ικανοποιώντας έτσι τον πρώτο κανόνα για καλό σχεδιασμό TCM κωδίκων.

            Τώρα, ας θεωρησουμε την ανάθεση των υποσυνόλων του επιπέδου 2 Q(00), Q(10),  Q(01) και Q(11) στους κλάδους του κώδικα trellis.Να σημειωθεί ότι ο trellis  είναι πλήρως ορισμένος από το σύνολο των κλάδων που εγκαταλείπουν μια κατάσταση.Στο παράδειγμα αυτό υπάρχει ένα σύνολο από =2 κλάδους που εγκαταλείπουν την καθεμία από τις =4 καταστάσεις.Επειδή υπάρχουν μόνο τέσσερα υποσύνολα του επιπέδου 2 να διαλέξουμε,ακριβώς τα μισά από αυτά θα πρέπει να ανατεθούν στον κάθε κλάδο που εγκαταλείπει την κατάσταση.Στο Σχήμα 18.12 μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η απόσταση ανάμεσα σε κλάδους που αποκλίνουν μεγιστοποιείται εάν στους δύο κλάδους που εγκαταλείπουν κάθε κατάσταση ανατεθούν υποσύνολα που ανήκουν στο ίδιο υποσύνολο του επιπέδου 1 Q(0) ή Q(1).Με άλλα λόγια, τα υποσύνολα Q(00) και Q(10) του επιπέδου 2 (που ανήκουν στο Q(0) ) πρέπει να ομαδοποιηθούν/ζευγαρωθουν, και επίσης τα υποσύνολα Q(01) και Q(11) του επιπέδου 2 (που ανήκουν στο Q(1) ) πρέπει να ομαδοποιηθούν.Για να διασφαλίσουμε ότι και η απόσταση μεταξύ των επανεμφανιζόμενων κλάδων θα μεγιστοποιηθεί, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ίδιο ζεύγος/ομάδα του επιπέδου 2 ( είτε {Q(00) και Q(10)} είτε {Q(01) και Q(11)}) στην ονοματοδοσία των αποκλινώντων κλάδων των δύο καταστάσεων σε κάθε «πεταλούδα» του trellis και επίσης το ζεύγος υποσυνόλων του επιπέδου 2 θα πρέπει ανατεθεί με τέτοιον τρόπο, ώστε οι δύο κλάδοι που επανεμφανίζονται στις δύο καταστάσεις στην πεταλούδα να «ονομάζονται» από το ίδιο ζεύγος (δες Σχήμα 18.13).Τέλος, προκειμένου να διασφαλιστεί ότι όλα τα σημεία στον αστερισμό του σήματος χρησιμοπιούνται το ίδιο συχνά, το υποσύνολο Q(0) (το ζεύγος {Q(00), Q(10)} θα πρέπει να ανατεθεί στις μισές καταστάσεις(μία πεταλούδα) και το υποσύνολο Q(1) (το ζεύγος {Q(01), Q(11)} στις άλλες μισές (στην άλλη πεταλούδα). Επειδή το καθένα από τα υποσύνολα του επιπέδου 1 Q(0) και Q(1) περιέχει =4 σημεία στον αστερισμό και επειδή η MSSD του =2.0 είναι η μέγιστη για ένα υποσύνολο τεσσάρων σημείων,εξασφαλίζεται ότι η MSE απόσταση ανάμεσα στους κλάδους που αφήνουν και εισέρχονται στην ίδια κατάσταση μεγιστοποιείται, ικανοποιώντας άρα τον δεύτερο κανόνα για καλή σχεδίαση TCM συστημάτων.Η τελική ονοματοδοσία των κλάδων για το παράδειγμα αυτό φαίνεται στο Σχήμα 18.13,όπου ο trellis αναπαριστά έναν κωδικοποιητή τεσσάρων καταστάσεων με ρυθμό  R=1/2 που τροφοδοτεί προς τα εμπρός(feedforward).

 

Οι ακόλουθες επισημάνσεις σχετίζονται με το Παράδειγμα 18.6:

 

            Η ανάθεση σημείων του αστερισμού του σήματος από ένα μόνο υποσύνολο του επιπέδου 1 (  Q(0) ή Q(1) ) σε όλους τους κλάδους που αφήνουν και εισέρχονται σε κάθε κατάσταση υπονοεί ότι το κωδικό bit , που καθορίζει το υποσύνολο που επιλέγεται στο επίπεδο 1, πρέπει να είναι το ίδιο για κάθε κλάδο που αφήνει και εισέρχεται μια συγκεκριμένη κατάσταση.Αυτό το γεγονός θέτει κάποιους περιορισμούς στους κώδικες και παράγει καλή TCM σχεδίαση.

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

           Το κομμάτι του trellis οποιουδήποτε  κωδικοποιητή μπορούμε να το αποσυνθέσουμε σε ένα σύνολο  πλήρως συνδεδεμένων υπό- trellis με  καταστάσεις το καθένα.Κάθε υπό- trellis, ονομάζονται πεταλούδες, συνδέει ένα υποσύνολο  καταστάσεων τη μια στιγμή με ένα (γενικά διαφορετικό) υποσύνολο  καταστάσεων την άλλη στιγμή.Για παράδειγμα, στο Σχήμα 18.13 το ζευγάρι (=2) των καταστάσεων  και  συνδέεται στο ζευγάρι καταστάσεων  και , δημιουργώντας μία από τις =2 πεταλούδες, ενώ η άλλη πεταλούδα δημιουργείται από τη σύνδεση του ζευγαριού καταστάσεων  και  με το ζευγάρι  και .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

          

 

             Γενικά, στις μισές από τις  πεταλούδες στον κώδικα trellis ανατίθεται το υποσύνολο Q(0) και στις άλλες μισές το υποσύνολο Q(1).Αυτό εξασφαλίζει ότι όλα τα σημεία του σήματος χρησιμοποιούνται με ίση πιθανότητα.

 

             Είναι πάντοτε πιθανό,με τον τρόπο που περιγράφεται εδώ,να εξασφαλίσουμε ότι η απόσταση μεταξύ των κλάδων που αποκλίνουν και επανεμφανίζονται θα είναι ίση με ,διασφαλίζοντας έτσι ότι ,εκτός από την περίπτωση όπου v=. Στην περίπτωση αυτή, ο trellis είναι πλήρως συνδεδεμένος και περιέχει μία μόνο πεταλούδα,υπονοώντας ,άρα, ότι είτε η αποκλίνουσα είτε η επανεμφανιζόμενη απόσταση θα πρέπει να είναι ίση με .Για το λόγο αυτό, οι trellis 2-καταστάσεων (v=1) με κώδικες ρυθμού R=1/2 (=1) δεν προσφέρουν καλή TCM σχεδίαση.

 

            Εάν στο προηγούμενο παράδειγμα χρησιμοποιούσαμε έναν R=2/3 κώδικα,τότε θα είχαμε k==v και ο trellis θα ήταν πλήρως συνδεδεμένος.Αυτό υπονοεί ότι η  θα είναι το πολύ +=2.586 οποιονδήποτε κώδικα και αν επιλέξουμε.Άρα, μπορούμε να πούμε ότι για 8-PSK TCM συστήματα με 4-καταστάσεις και η=2 bits/σύμβολο οι κώδικες ρυθμού R=2/3 είναι υποδεέστεροι συγκρινόμενοι με τους κώδικες ρυθμού R=1/2 με ένα μη-κωδικοποιημένο bit.

 

            Στο διαχωρισμό του 8-PSK, τα δύο υποσύνολα στο επίπεδο 1 είναι ισοδύναμα με QPSK σήματα και τα τέσσερα υποσύνολα στο επίπεδο 2 είναι ισοδύναμα με ΒPSK σήματα.Αυτή η ισομετρία ανάμεσα στα υποσύνολα που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο του δέντρου διαχωρισμού είναι χαρακτηριστική όλων των διαχωρισμών PSK σημάτων.

 

            Στο διαχωρισμό του 8- PSK που φαίνεται στο Σχήμα 18.12, η αντιστοίχηση μέσω διαχωρισμού συνόλων καταλήγει στον κανόνα φυσικής αντιστοίχησης που συζητήθηκε στο Κεφάλαιο 18.1.Εάν η σειρά των υποσυνόλων αλλαχθεί σε οποιοδήποτε επίπεδο του δέντρου διαχωρισμού,τότε η αντιστοίχηση που θα προκύψει θα είναι ισομορφική στη φυσική αντιστοίχηση.

 

            Ο διαχωρισμός μέσω διαχωρισμού συνόλων καταλήγει πάντα στη σχέση  μεταξύ των αποστάσεων,η οποία μαζί με τη σωστή ανάθεση των υποσυνόλων σε κλάδους του trellis,εγγυάται ότι οι δύο κανόνες καλής σχεδίασης TCM συστημάτων ικανοποιούνται.

 

             Ή μέθοδος του διαχωρισμού συνόλων αναθέτει στα κωδικοποιημένα και τα μη- κωδικοποιημένα bits ξεχωριστόυς σκοπόυς,δηλαδή στα μεν πρώτα την επιλογή των υποσυνόλων για τους κλάδους του trellis στα δε δεύτερα την επιλογή του ενός σημείου του αστερισμού από ένα υποσύνολο.Αυτό υπονοεί ότι η γενική συσκευή που κάνει την κωδικοποίηση και την αντιστοίχηση (mapper) στο TCM θα πρέπει να σχεδιαστεί όπως φαίνεται στο Σχήμα 18.14.Αν ισχύει =k,τότε δεν υπάρχουν παράλληλες μεταβάσεις και οι κωδικές λέξεις των υποσυνόλων γίνονται κωδικές λέξεις των σημείων του αστερισμού.

 

 

 

 

 

 

 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18.7                    Διαχωρισμός του 16-QAM

 

Σαν δεύτερο παράδειγμα διαχωρισμού συνόλων, θεωρούμε τον 16-QAM αστερισμό που σημειώνεται με S του Σχήματος 18.15.Θεωρώντας  την MSSD απόσταση στο επίπεδο 0,παρατηρούμε ότι η μέση ενέργεια του σήματος δίνεται από την έκφραση

                             

                                                                (18.22)

      Άρα =2/5 αν η μέση ενέργεια είναι =1.Στο επίπεδο 1 του δέντρου διαχωρισμού λαμβάνουμε τα υποσύνολα Q(0) και Q(1) το καθένα ισομορφικό με έναν 8-AM/PM αστερισμό και είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι  =2.Συνεχίζοντας στο δέντρο διαχωρισμού προς τα κάτω, θα πάρουμε τέσσερα υποσύνολα στο επίπεδο 2, το καθένα ισομορφικό με ένα 4-QAM με =2, οκτώ υποσύνολα στο επίπεδο 3, το καθένα ισομορφικό με ένα 2-AM με =2, και τέλικα θα πάρουμε τα 16 σημεία του αστερισμού στο επίπεδο 4,το καθένα από τα οποία χαρακτηρίζεται από μία κωδική λέξη σύμφωνα με τον κανόνα αντιστοίχησης του διαχωρισμού συνόλων.

 

Οι ακόλουθες παρατηρήσεις σχετίζονται με το Παράδειγμα 18.7:

 

            Ο αστερισμός του 16-QAM μπορεί να θεωρηθεί σαν μία πολυδιάστατη εκδοχή του 4-AM,δηλαδή 24-ΑΜ.

 

             Στην περίπτωση του 16-QAM, η MSSD απόσταση διπλασιάζεται σε κάθε επίπεδο του δέντρου διαχωρισμού, δηλαδή =2 , i=1,2,…,k.Αυτό είναι χαρακτηριστικό των περισσοτέρων διαχωρισμών τετραγωνικών αστερισμών που χρησιμοποιούνται στην πράξη.

 

              Το 16-QAM είναι ένα υποσύνολο του διδιάστατου πλέγματος ακεραίων  και επίσης τα υποσύνολα σε κάθε επίπεδο του διαχωρισμού είναι ισομορφικά.

 

              Δεν είναι πάντοτε δυνατό να διαχωρίσουμε αστερισμούς που βασίζονται σε πλέγμα με τέτοιον τρόπο ώστε όλα τα υποσύνολα σε κάποιο επίπεδο διαχωρισμού να είναι ισομορφικά.Στην περίπτωση αυτή και παρόλο που τα υποσύνολα δεν είναι πλέον ανεξάρτητα της απόστασης, έχουν όλα την ίδια MSSD .Ένα παράδειγμα της περίπτωσης αυτής είναι ο 32-CROSS αστερισμός του Κεφαλαίου 18.4.

 

              Τα συστήματα TCM που βασίζονται σε 16-QAM διαμόρφωση μπορούν να χρησιμοποιήσουν κωδικούς ρυθμούς R =3/4 ή 2/3 με ένα μη-κωδικοποιημένο bit ή 1/2 με δύο μη-κωδικοποιημένα bits.

 

 

 

 

 

 

Ας κοιτάξουμε τώρα το τελευταίο βήμα της διαδικασίας σχεδιασμού, αυτό της επιλογής κώδικα.Ας υποθέσουμε ότι ο κώδικας παράγεται από έναν συστηματικής ανάδρασης συνελικτικό κωδικοποιητή ρυθμού  που χρησιμοποιεί πίνακα ελέγχου ισοτιμίας

                                                (18.23)

όπου  , j=0,1,…, και v είναι το μήκος εξαναγκασμού.Θα πρέπει να ισχύει =1 για να είναι πραγματοποιήσιμος ο κωδικοποιητής.Έπειτα, το διάνυσμα  είναι κωδική λέξη αν και μόνο αν

                                                          (18.24)

όπου  ,  j=0,1,…,  αναπαριστά την έξοδο του κωδικοποιητή που επιλέγει το υποσύνολο στον χρόνο l.Το υποδεικνύει modulo-2 άθροιση και το 0(D) είναι το μηδενικό διάνυσμα.Η γενική πραγματοποίηση/σχεδίαση ενός συστηματικής ανάδρασης συνελικτικού κωδικοποιητή ρυθμού  που χρησιμοποιεί πίνακα ελέγχου ισοτιμίας που δίνεται στην (18.23) φαίνεται στο Σχήμα 18.16(α).

           Θα τοποθετήσουμε τώρα κάποιους περιορισμούς στη γενική σχεδίαση του κωδικοποιητή του Σχήματος 18.16(α),οι οποίοι είναι κατάλληλοι προκειμένου να πετύχουμε σχεδιασμό καλού κώδικα TCM.Aς θυμηθούμε την απαίτηση του διαχωρισμού συνόλων που θέλει το bit ισοτιμίας  να είναι το ίδιο για όλους τους κλάδους που αφήνουν ή εισέρχονται σε μία κατάσταση.Στο Σχήμα 18.16(α) παρατηρούμε εύκολα ότι για να εξασφαλίσουμε ότι το  θα είναι το ίδιο για όλους τους κλάδους που αφήνουν μία κατάσταση, δεν θα πρέπει να υπάρχει καμία σύνδεση οποιασδήποτε ακολουθίας πληροφορίας με την έξοδο του καταχωρητή μετάθεσης, δηλαδή απαιτούμε να ισχύει .Επίσης, εφόσον το  είναι είσοδος στο πρώτο στάδιο(αυτό που βρίσκεται πιο αριστερά) του καταχωρητή και η έξοδος του καταχωρητή του πρώτου σταδίου θα πρέπει να είναι η ίδια για όλους τους κλάδους που εισέρχονται σε μία κατάσταση, προκειμένου να εξασφαλίσουμε ότι το  θα είναι το ίδιο για όλους τους κλάδους που εισέρχονται σε μία κατάσταση, θα πρέπει να μην υπάρχει σύνδεση οποιασδήποτε ακολουθίας πληροφορίας με την είσοδο του καταχωρητή μετάθεσης.Θα πρέπει λοιπόν . Αυτοί οι περιορισμοί που οδηγούν στην σχεδίαση του συστηματικής ανάδρασης συνελικτικού κωδικοποιητή, ο οποίος φαίνεται στο Σχήμα 18.16(b) και ο οποίος χρησιμοποιείται στην αναζήτηση σχεδιασμών καλών κωδίκων TCM.

           Το κριτήριο για την επιλογή καλών κωδίκων, βασιζόμενο στην προσέγγιση της έκφρασης για την πιθανότητα σφάλματος γεγονότος που δίνει η (18.5), είναι να επιλέγονται οι κώδικες που μεγιστοποιούν την MFSE απόσταση  και ελαχιστοποιούν τον μέσο αριθμό εγγύτερων γειτόνων .Ένας σωστός αλγόριθμος αναζήτησης πρέπει πρώτα να βρει του κώδικες με την μέγιστη  και μετά να επιλέξει αυτούς με τον μικρότερο .Υποθέτοντας ότι η MSE απόσταση  μεταξύ παράλληλων μεταβάσεων υπολογίζεται ξεχωριστά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την (18.13) για να εκφράσουμε την MFSE απόσταση μεταξύ των διαδρομών του trellis ως

                                                              (18.25)

Είναι επίσης δυνατό να υπολογίσουμε ένα κατώτατο φράγμα της  απ’ ευθείας από το δυαδικό trellis σφάλματος του κώδικα και από τις MSSD  στο δέντρο διαχωρισμού συνόλων κάνοντας χρήση του παρακάτω λήμματος.

             

                ΛΗΜΜΑ 18.2 (Λήμμα διαχωρισμού συνόλων)   [1]Ας σημειώσουμε με q(e) τον αριθμό των τελευταίων μηδενικών στο διάνυσμα σφάλματος e, για παράδειγμα, =2.Τότε,

                                                                                                         (18.26)

 

Απόδειξη.Η απόδειξη της (18.26) προκύπτει από το γεγονός ότι αν οι v και v’=ve αποτελούν δύο κωδικές λέξεις κλάδων trellis, τότε οι αντίστοιχες κωδικές λέξεις του σήματος στο δέντρο διαχωρισμού συνόλων θα συμφωνούν στις τελευταίες q(e) θέσεις.Αυτό υπονοεί ότι ακολουθούν την ίδια διαδρομή στο δέντρο για τα πρώτα q(e) επίπεδα και άρα .Επειδή αυτή η συνθήκη ισχύει για όλα τα v, .                                                                                    ο.ε.δ.

 

Κάνοντας χρήση του λήμματος διαχωρισμού συνόλων, μπορούμε να γράψουμε

 

                                                                                     (18.27)

Tα ακόλουθα σχόλια αφορούν το λήμμα διαχωρισμού συνόλων.

 

             Στην πρείπτωση που e=0 έχουμε =0.

 

             Η ανισότητα (18.26) μπορεί να μετατραπεί σε ισότητα για τα περισσότερα e. Για παράδειγμα, η μόνη εξαίρεση για το 8-PSK είναι  ενώ για το        16-QAM εξαιρέσεις είναι μόνο οι  ,  και .

 

             Η ανισότητα (18.27) μπορεί να μετατραπεί σχεδόν πάντα σε ισότητα, αφού συνήθως υπάρχουν αρκετές διαδρομές e(D)0(D) που επιτυγχάνουν την ελάχιστη τιμή της , ανάμεσα στις οποίες υπάρχει τουλάχιστον μία που δεν περιέχει κανένα διάνυσμα e για το οποίο στην (18.26) δεν ισχύει η ισότητα.

 

             Άρα, οποιαδήποτε από τις (18.25) ή (18.27) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσουμε την MFSE απόσταση μεταξύ των διαδρομών του trellis.Όμως η (18.27) είναι απλούστερη, εφόσον δεν απαιτεί υπολογισμό του Ευκλείδειου βάρους για κάθε διάνυσμα σφάλματος.Αυτό το χαρακτηριστικό μπορεί να αποδειχθεί ιδιαίτερα σημαντικό για μεγάλα σύνολα σημάτων ή εάν οι κώδικες σχεδιάστηκαν βασιζόμενοι σε διαχωρισμό πλέγματος χωρίς να ακολουθείται ένας συγκεκριμένος αστερισμός.

 

       Σύνολα από ιδανικές σχεδιάσεις TCM κωδίκων, οι οποίες βασίστηκαν στην παραπάνω διαδικασία αναζήτησης παρουσιάζονται στους Πίνακες 18.6(a)-(d).Οι κώδικες βρέθηκαν με τη βοήθεια Η/Υ[4].Ο κάθε πίνακας μας δίνει τις ακόλουθες πληροφορίες:

 

              Τις MSSD , i=0,1, … ,k.

 

              Το μήκος εξαναγκασμού του κωδικοποιητή v.

 

              Τον αριθμό των κωδικοποιημένων bits πληροφορίας .

 

              Τους συντελεστές ελέγχου ισοτιμίας ,         j=0,1, ... ,  ,σε οκταδική μορφή.

 

               Την MFSE απόσταση .Ο αστερίσκος (*) σημαίνει ότι η  συμβαίνει/ εμφανίζεται μόνο κατά μήκος παράλληλων μεταθέσεων,δηλαδή >.Στους Πίνακες 18.6(a) και (b) φαίνεται ο λόγος  προς (η MSSD στο επίπεδο 0, θεωρώντας ότι =1).(Στις περιπτώσεις αυτές, η αλλάζει ανάλογα με τον αστερισμό που μελετάμε, αλλά ο λόγος / είναι σταθερός.)

 

              Το ασυμπτωτικό κέρδος κωδικοποίησης σε dB σε σύγκριση με ένα σύστημα μη-κωδικοποιημένης διαμόρφωσης ίσης απόδοσης εύρους ζώνης.Η σημείωση αναφέρει τους δύο αστερισμούς σήματος που συγκρίνονται.Για παράδειγμα ο όρος  αναφέρει το κέρδος κωδικοποίησης του κωδικοποιημένου αστερισμού  32-CROSS σε σύγκριση με έναν μη-κωδικοποιημένο 16-QAM.Ακόμα φαίνεται ο αριθμός των μεταδιδόμενων bits πληροφορίας k ανά κωδικό σύμβολο, ο οποίος είναι ίσος με την απόδοση εύρους ζώνης η σε bits/σύμβολο. Στους Πίνακες 18.6(a) και (b) δίνονται τα κέρδη κωδικοποίησης για αρκετές διαφορετικές αποδόσεις εύρους ζώνης που βασίζονται σε αστερισμούς από το ίδιο πλέγμα.Ο όρος  συμβολίζει το κέρδος κωδικοποίησης ενός κωδικοποιημένου πλέγματος απείρου μεγέθους σε σύγκριση με ένα μη-κωδικοποιημένο.  

 

              Ο μέσος αριθμός εγγύτερων γειτόνων .Στους Πίνακες 18.6(a) και (b) ο  δίνεται μόνο στην περίπτωση άπειρης απόδοσης εύρους ζώνης, δηλαδή για .

 

Οι κώδικες που έχουν καταχωρηθεί για μονοδιάστατο AM βασίζονται στο μονοδιάστατο πλέγμα ακεραίων , και οι κώδικες που έχουν καταχωρηθεί για δισδιάστατο ΑΜ/PM βασίζονται στο δισδιάστατο πλέγμα ακεραίων , όπου αυτά τα πλέγματα είναι επεκτάσεις προς το άπειρο του μονοδιάστατου και του δισδιάστατου αστερισμού σημάτων που φαίνονται στα σχήματα 18.1(a) και 18.1(b). Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι ίδιοι κώδικες δίνουν το ίδιο μέγιστο  ανεξάρτητα από το μέγεθος του αστερισμού του σήματος που επιλέχθηκε από το πλέγμα, παρόλο που ελάχιστος αριθμός γειτόνων μπορεί να αλλάζει εξαιτίας των ορίων του αστερισμού του σήματος. Στους πίνακες 18.6(a) και (b), για να αναιρέσουμε την επίδραση των ορίων του αστερισμού, καταχωρούμε μόνο τις μέσες πολλαπλότητες  υποθέτοντας έναν αστερισμό σήματος άπειρου μεγέθους. Επειδή, ο διαχωρισμός σε υποσύνολα ενός απεριόριστου πλέγματος οδηγεί σε κανονική χαρτογράφηση, οι τιμές των στους πίνακες 18.6(a) και (b) είναι όλοι ακέραιοι. Στον πίνακα 18.6(a), βλέπουμε ότι για τους κώδικες που βασίζονται στο , το ασυμπτωτικό κωδικό κέρδος γ αυξάνει ανάλογα με τη φασματική απόδοση k, δηλαδή τα μεγαλύτερα κωδικά κέρδη πετυχαίνονται οριακά για . Επίσης, 2 βέλτιστοι κώδικες 256 καταστάσεων έχουν καταχωρηθεί. Ο 1ος, του οποίου η  συμβαίνει στις παράλληλες μεταβάσεις, είναι βέλτιστος όταν το πλήθος των info bits είναι , δηλαδή όταν το διάγραμμα trellis περιλαμβάνει παράλληλες μεταβάσεις. Ο 2ος, που πετυχαίνει μεγαλύτερο , είναι βέλτιστος μόνο όταν k=1, δηλαδή όταν το διάγραμμα trellis δεν περιλαμβάνει παράλληλες μεταβάσεις. Στον πίνακα 18.6(b) παρατηρούμε τα σχετικά υψηλά ασυμπτωτικά κωδικά κέρδη του κωδικοποιημένου 16-QAM σε σύγκριση με το ακωδικοποίητο 8-PSK. Αυτή η διαφορά οφείλεται στον περιορισμό ότι τα PSK σήματα πρέπει όλα να έχουν την ίδια ενέργεια. Τα κωδικά κέρδη του 16-QAM σε σύγκριση με ακωδικοποίητους ορθογώνιους αστερισμούς δεν είναι τόσο μεγάλα, όπως φαίνεται στο Πρόβλημα 18.15. Σε αντίθεση με τους κώδικες που βασίζονται σε πλέγματα, στους πίνακες 18.6(c) και (d) βλέπουμε ότι διαφορετικοί κώδικες είναι βέλτιστοι για 8-PSK και 16-PSK αστερισμούς και ότι η μη κανονική χαρτογράφηση μπορεί να οδηγήσει σε μη ακέραιες τιμές των μέσων πολλαπλοτήτων .

Όταν ένα διάγραμμα trellis περιέχει παράλληλες μεταβάσεις, πρέπει να υπολογιστεί και η τιμή της , μιας και κάθε παράλληλος κλάδος μπορεί να συνεισφέρει σε μια ελάχιστης απόστασης διαδρομή. Για παράδειγμα, στον πίνακα 18.6(a), =4 για το πλέγμα ακεραίων  σε κώδικα 4 καταστάσεων. Όσον αφορά το διάγραμμα trellis στο σχήμα 18.4(b) για τον κώδικα 2, που είναι ισοδύναμος με τον κώδικα 4 καταστάσεων στον πίνακα 18.6(a), παρατηρούμε ότι το διάγραμμα trellis σφάλματος για το κωδικοποιημένο πλέγμα  σχηματίστηκε αντικαθιστώντας κάθε κλάδο με ένα (απεριόριστο) σετ παράλληλων μεταβάσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, οι κλάδοι του διαγράμματος trellis με ταμπέλα e=(00) θα περιέχουν τώρα το σύνολο των παράλληλων μεταβάσεων αντιπροσωπεύοντας έτσι όλα τα διανύσματα σφάλματος e=(… 00), οι κλάδοι του διαγράμματος trellis με ταμπέλα e=(10) θα περιέχουν τώρα το σύνολο των παράλληλων μεταβάσεων αντιπροσωπεύοντας έτσι όλα τα διανύσματα σφάλματος e=(… 10) και πάει λέγοντας. Η ελάχιστη SE απόσταση  πετυχαίνεται με μια διαδρομή που αρχίζει από την κατάσταση  συνεχίζει με  τον κλάδο με ταμπέλα e=(10) στην κατάσταση  (μια τετραγωνική απόσταση ), συνεχίζει στην κατάσταση  μέσω του κλάδου με ταμπέλα e=(01) (μια τετραγωνική απόσταση ), και ξαναπάει στην κατάσταση  μέσω του κλάδου με ταμπέλα e=(10) (μια τετραγωνική απόσταση ). Τώρα, παρατηρούμε ότι για μια δεδομένη παράλληλη μετάβαση στον κλάδο με ταμπέλα e=(00) που αφήνει την κατάσταση , ας πούμε e=(… 000), υπάρχουν 2 παράλληλες μεταβάσεις, e=(… 110) και e=(… 010), με τετραγωνική απόσταση  από τον αποκλίνοντα κλάδο με ταμπέλα e=(10). Το ίδιο πράγμα συμβαίνει όταν η διαδρομή ελάχιστου βάρους ξαναπάει στην κατάσταση  μέσω του κλάδου με ταμπέλα e=(10). Για το μεσαίο κλάδο στη διαδρομή ελάχιστου βάρους, υπάρχει μόνο μία παράλληλη μετάβαση, e=(… 001), με τετραγωνική απόσταση  διαμέσου του κλάδου με ταμπέλα e=(01). Επειδή υπάρχουν 4 δυνατοί συνδυασμοί διαδρομών με ελάχιστο βάρος, σε αυτήν την περίπτωση, =4. Ένα άλλο παράδειγμα υπολογισμού της  για ένα διάγραμμα trellis με παράλληλες μεταβάσεις δίνεται στο Πρόβλημα 18.16. Εν τέλει, θυμόμαστε ότι όταν η  του κωδικοποιημένου συστήματος υπερβαίνει την  του ακωδικοποίητου συστήματος, το πραγματικό κωδικό κέρδος για πρακτικά BERs γύρω στο είναι κατά κάτι μειωμένο σε σύγκριση με το ασυμπτωτικό κωδικό κέρδος γ.

Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι πολλοί από τους βέλτιστους κώδικες του πίνακα 18.6 περιέχουν 1 ή περισσότερα ακωδικοποίητα bits. Αυτό συμβαίνει γιατί, ειδικά για μικρά μήκη εξαναγκασμού, η απόσταση παράλληλης μετάβασης  είναι ήδη μεγαλύτερη από την ελεύθερη απόσταση  ανάμεσα στις διαδρομές του διαγράμματος trellis, και έτσι η χρήση ενός κώδικα υψηλότερου ρυθμού δεν μπορεί να βελτιώσει την ολική ελεύθερη απόσταση . Για μεγαλύτερα μήκη εξαναγκασμού, όμως, η ελεύθερη απόσταση ανάμεσα στις διαδρομές του διαγράμματος trellis αυξάνεται και τότε περισσότερα κωδικοποιημένα bits, δηλαδή μεγαλύτερο , πρέπει να χρησιμοποιηθεί για να αυξηθεί η απόσταση παράλληλης μετάβασης  και συνεπώς η ολική ελεύθερη απόσταση .

 

18.3 Ανάλυση της απόδοσης του TCM

 

Η συνάρτηση συντελεστή μέσου βάρους (AWEF)  και η συνάρτηση συντελεστή μέσου βάρους εισόδου-εξόδου (AIOWEF)  ενός TCM συστήματος μπορούν να υπολογιστούν βάζοντας ως ταμπέλες στους κλάδους του δυαδικού διαγράμματος trellis σφάλματος, τα αντίστοιχα AEWEs, αυξημένα κατά τους συντελεστές βάρους εισόδου για την περίπτωση που υπολογίζουμε την , και μετά σχηματίζουμε το τροποποιημένο διάγραμμα καταστάσεων και χρησιμοποιούμε την προσέγγιση της συνάρτησης μεταφοράς που αναπτύχθηκε στο Κεφάλαιο 11. Άπαξ και υπολογιστούν οι   και , η πιθανότητα σφάλματος γεγονότος P(E) και η πιθανότητα σφάλματος bit  μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τις τεχνικές φράγματος ένωσης που αναπτύχθηκαν στο Κεφάλαιο 12. Για ένα μη κβαντισμένης εξόδου AWGN κανάλι του οποίου οι είσοδοι λαμβάνονται από το σετ σημείων – σημάτων ενός TCM συστήματος, αυτή η διαδικασία δίνει τις εκφράσεις

                                        |                   (18.28a)

 

και

 

|,           (18.28b)

όπου , και η υπολογίζεται υποθέτοντας ένα σετ σημάτων με μοναδιαία μέση ενέργεια. Ο αναγνώστης πρέπει να προσέξει την ομοιότητα ανάμεσα στις 2 παραπάνω εκφράσεις και σε αυτές που προκύπτουν από τους δυαδικούς συνελικτικούς κώδικες στο κεφάλαιο 12. Συγκεκριμένα, είναι ολόιδιες μόνο που οι WEFs αντικαταστάθηκαν από τις μέσες WEFs, και η απόσταση Hamming, , στο κεφάλαιο 12 αντικαταστάθηκε από το , όπου  είναι η SE απόσταση στις προηγούμενες εκφράσεις. Αυτό μας δείχνει ότι για δυαδικά σήματα μοναδιαίας ενέργειας ισχύει  όπως παρατηρήθηκε στην 18.8.

Τα όρια στη 18.28 ισχύουν για κάθε TCM σύστημα χωρίς παράλληλες μεταβάσεις, δηλαδή είναι η περίπτωση για την οποία κάθε γεγονός σφάλματος αντιπροσωπεύει μια διαδρομή στο διάγραμμα trellis τουλάχιστον 2 κλάδων σε μήκος. Στην περίπτωση των παράλληλων μεταβάσεων, δηλαδή για γεγονότα σφάλματος ενός κλάδου, τα όρια τροποποιούνται ως εξής:

|+|     (18.29a)

και

|+|                                            (18.29b)

όπου  και  αντιπροσωπεύουν τους AWEF και AIOWEF για τις διαδρομές των παράλληλων μεταβάσεων, και  και  τις AWEF και AIOWEF για τις διαδρομές στο διάγραμμα trellis, αντίστοιχα. ( Πρέπει να παρατηρηθεί ότι  και  είναι απλά οι AWEFs των υποσυνόλων στο τελευταίο επίπεδο, δηλαδή στο επίπεδο στο δεντροδιάγραμμα διαχωρισμού του σετ των σημείων. ) Η χρήση των WEFs για να υπολογίσουμε την απόδοση των TCM συστημάτων προτάθηκε από τους Zehavi και Wolf [24], και ένας αλγόριθμος για τον υπολογισμό της AWEF παρουσιάστηκε στην [25]. Θα δούμε τώρα την εφαρμογή των ορίων με 2 παραδείγματα.

 

 

Παράδειγμα 18.8            4-ΑΜ σε Trellis κώδικα 4 καταστάσεων και ρυθμού R=1/2

 

Ας θεωρήσουμε το δυαδικό feedforward κωδικοποιητή 4 καταστάσεων με ρυθμό R=1/2 για τον κώδικα 2 που φαίνεται στο σχήμα 18.4(α) σε συνδυασμό με 4-ΑΜ σε φυσική χαρτογράφηση. Το δυαδικό διάγραμμα trellis σφάλματος αυτού του κωδικοποιητή δόθηκε στο σχήμα 18.4(b), και οι AEWEs ενός 4-ΑΜ με φυσική χαρτογράφηση δίνονται στον πίνακα 18.4(b). Στο σχήμα 18.17(a) δείχνουμε ένα τροποποιημένο διάγραμμα καταστάσεων που του βάλαμε για ταμπέλες τους AEWEs. Τώρα υπολογίζουμε την AWEF χρησιμοποιώντας τη συνηθισμένη προσέγγιση με τη συνάρτηση μεταφοράς όπως δείχνεται παρακάτω:

  =

==

=                                              (18.30a)

 

Η παραπάνω ισότητα υποδηλώνει ότι για μια αυθαίρετη μεταδιδόμενη ακολουθία y, υπάρχει ένας μέσος όρος της 1 διαδρομής-σφάλμα y′ με ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση , ένας μέσος όρος 1.25 διαδρομής-σφάλμα y′ με SE απόσταση , ένας μέσος όρος 1.75 διαδρομής-σφάλμα y′ με SE απόσταση  και πάει λέγοντας.

Στο σχήμα 18.17(b) δείχνουμε το τροποποιημένο διάγραμμα καταστάσεων αυξημένο κατά τους απαριθμητές βάρους εισόδου. Σε αυτήν την περίπτωση ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με προηγουμένως, βρίσκουμε ότι η AIOWE συνάρτηση δίνεται από την έκφραση:

               (18.30b)

 

Εδώ βλέπουμε ότι οι διαδρομές σφάλματος που απέχουν 7.2 από τη σωστή διαδρομή περιέχουν πάντα 1 λάθος info bit, αυτές που απέχουν 8.0 από τη σωστή διαδρομή περιέχουν πάντα 2 λάθος info bits, αυτές που απέχουν 8.8 από τη σωστή διαδρομή περιέχουν πάντα 3 λάθος info bit και πάει λέγοντας.

Τελικά, οι εκφράσεις της 18.30 μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην 18.28 για τον υπολογισμό των P(E) και  ως συναρτήσεις καναλιού με SNR . Τα όρια φαίνονται με διακεκομμένες γραμμές στο σχήμα 18.18 μαζί με του ακωδικοποίητου BPSK, το οποίο έχει την ίδια φασματική απόδοση του n=1 bit/διάσταση.

 

 

Οι παρακάτω παρατηρήσεις αφορούν

  • Οι πολλαπλότητες των κωδικών λέξεων είναι μέσοι όροι γιατί τα TCM συστήματα είναι μη γραμμικά και το πλήθος των κωδικών λέξεων για συγκεκριμένη απόσταση από τη σωστή ακολουθία εξαρτάται από τη μεταδιδόμενη διαδρομή.
  • Οι πολλαπλότητες των κωδικών λέξεων είναι κλασματικές επειδή ο αστερισμός σημάτων είναι περιορισμένος και η χαρτογράφηση μη κανονική. Έτσι, η πολλαπλότητα του 1.25 που συνδέεται με λάθος διαδρομές σε απόσταση 8.0 σημαίνει ότι, ανάλογα με τη σωστή διαδρομή, μπορεί να υπάρχουν 1 ή 2 λάθος διαδρομές σε απόσταση 8.0.
  • Αν χρησιμοποιούνταν ο ίδιος κώδικας ρυθμού R=1/2 μαζί με τον απεριόριστο αριθμό ακωδικοποίητων info bits, για να κωδικοποιηθεί το μονοδιάστατο πλέγμα ακεραίων  , οι μέσες πολλαπλότητες θα ήταν ακέραιοι, μιας και μια κανονική χαρτογράφηση σήματος μπορεί κάλλιστα να επιτευχθεί με διαχωρισμό του σετ σημείων-σημάτων, όπως τονίστηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Σε αυτήν την περίπτωση το μέσο πλήθος γειτόνων είναι , αφού τα υποσύνολα παράλληλων μεταβάσεων και στους αρχικούς και στους τελευταίους κλάδους του κοντύτερου γεγονότος σφάλματος περιέχουν ακριβώς 2 σημεία-σήματα που απέχουν 3.2 από ένα δεδομένο σημείο αναφοράς. (βλ. Πρόβλημα 18.15)
  • Εξαιτίας της συγκεκριμένης δομής του κωδικοποιητή σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε μια αιτιοκρατική σχέση ανάμεσα στην απόσταση της κωδικής λέξης από τη σωστή διαδρομή και στο βάρος πληροφορίας, δηλαδή , όπου  είναι η SE απόσταση από τη σωστή διαδρομή, και  το αντίστοιχο βάρος πληροφορίας. Για παράδειγμα, όλες οι κωδικές λέξεις που απέχουν 14.4 από τη σωστή διαδρομή έχουν βάρος πληροφορίας 10.
  • Από το όριο του  που σχεδιάστηκε στο σχήμα 18.18, βλέπουμε ότι το πραγματικό κωδικό κέρδος για BER=  αυτού του TCM συστήματος σε σύγκριση με το ακωδικοποίητο BPSK είναι περίπου 2.1dB. αυτό το κωδικό κέρδος πετυχαίνεται χωρίς επέκταση στο φάσμα.

 

 

Παράδειγμα 18.9             8-PSK σε Trellis κώδικα 4 καταστάσεων και ρυθμού R=1/2

 

Τώρα, ας θεωρήσουμε το δυαδικό κωδικοποιητή ανάδρασης 4 καταστάσεων με ρυθμό R=1/2 για τον κώδικα 2 που φαίνεται στο σχήμα 18.9(a) χρησιμοποιώντας 1 ακωδικοποίητο info bit  και 8-PSK με φυσική χαρτογράφηση. Το δυαδικό διάγραμμα trellis σφάλματος αυτού του κωδικοποιητή δόθηκε στο σχήμα 18.9(b), όπου υπήρχε μια παράλληλη μετάβαση που συνέδεε κάθε ζευγάρι καταστάσεων, και οι AEWEs ενός 8-PSK με φυσική χαρτογράφηση δίνονται στον πίνακα 18.5. στο σχήμα 18.19(a) δείχνουμε το τροποποιημένο διάγραμμα καταστάσεων, στο οποίο σε κάθε κλάδο έχουμε βάλει ως ταμπέλα το άθροισμα των AEWEs από τις αντίστοιχες ταμπέλες των κλάδων παράλληλης μετάβασης στο δυαδικό διάγραμμα trellis. Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε τη συνάρτηση AWE για τις διαδρομές στο διάγραμμα trellis   χρησιμοποιώντας τη στάνταρ μέθοδο της συνάρτησης μεταφοράς όπως φαίνεται παρακάτω:

==

=                                                      (18.31a)

 

Η παραπάνω ισότητα δηλώνει ότι για μια αυθαίρετη μεταδιδόμενη ακολουθία y , υπάρχει ένας μέσος όρος 4 λάθος διαδρομών y′ με μια ελάχιστη ελεύθερη απόσταση SE ανάμεσα στις διαδρομές του διαγράμματος trellis με (y,y′)=4.586, ένας μέσος όρος 8 λάθος διαδρομών y′ με μια ελεύθερη απόσταση SE (y,y′)=5.172 και πάει λέγοντας. Επειδή αυτό το TCM σύστημα περιλαμβάνει παράλληλες μεταβάσεις, πρέπει ακόμα να υπολογίσουμε τη συνάρτηση AWE παράλληλης μετάβασης  . Από το δεντροδιάγραμμα διαχωρισμού σε υποσύνολα του 8-PSK, βλέπουμε ότι υπάρχουν μόνο 2 σημεία-σήματα σε κάθε παράλληλη μετάβαση και ότι

                                                                                                     (18.31b)

Η προηγούμενη ισότητα δηλώνει ότι η ελάχιστη SE απόσταση ανάμεσα σε παράλληλες μεταβάσεις είναι , και άρα η ελάχιστη ελεύθερη SE απόσταση του TCM συστήματος είναι

                                                                               (18.31c)

όπως εδείχθη πρωτύτερα στο Παράδειγμα 18.4.

Στο σχήμα 18.19(b) δείχνουμε το τροποποιημένο διάγραμμα καταστάσεων αυξημένο κατά τους απαριθμητές βάρους της εισόδου. Σε αυτήν την περίπτωση, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία όπως παραπάνω, βρίσκουμε την AΙOWE ως εξής ( βλέπε Πρόβλημα 18.17 ):

=      (18.31d)

 

Εδώ βλέπουμε ότι οι λάθος διαδρομές (διαδρομές σφάλματος) σε απόσταση 4.586 από τη σωστή διαδρομή συνδέονται με 2, 3 ή 4 info bits σφάλματα, αυτές σε απόσταση 5.172 με 2 και 8 info bits σφάλματα και πάει λέγοντας. Επιπλέον, οι συντελεστές των όρων W δηλώνουν τη σχετική πιθανότητα ότι ένα συγκεκριμένος αριθμός info bits σφαλμάτων αντιστοιχεί σε διαδρομές σφάλματος δεδομένου βάρους. Για παράδειγμα, οι όροι  και  δείχνουν ότι διαδρομές σφάλματος σε απόσταση 5.172 από τη σωστή διαδρομή είναι 5 φορές πιο πιθανές να έχουν 4 info bits λάθος από 8. Εν τέλει η συνάρτηση AIOWE παράλληλης μετάβασης δίνεται από τη σχέση:

 

                                            (18.31e)

που δηλώνει ότι όλα τα σφάλματα παράλληλης μετάβασης σχετίζονται με 1 σφάλμα σε info bit.

 

Τώρα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις εκφράσεις (18.31) στην 18.29 για να υπολογίσουμε τις P(E) και ως συναρτήσεις του SNR . Τα όρια αυτά έχουν σχεδιαστεί στο σχήμα μαζί με του ακωδικοποίητου QPSK, που έχει την ίδια αποδοτικότητα φάσματος n=2bits/symbol.

 

 

Οι παρακάτω παρατηρήσεις αφορούν το Παράδειγμα 18.9:

 

  • Οι συναρτήσεις WE για κάθε δυνατή παράλληλη μετάβαση, δηλαδή για κάθε υποσύνολο 2ου επιπέδου στο δεντροδιάγραμμα διαχωρισμού σε υποσύνολα, είναι πανομοιότυπες γιατί τα 4 BPSK υποσύνολα στο επίπεδο 2 είναι ισομορφικά. Γενικά, όμως, αυτό δεν είναι ο κανόνας και η  υπολογίζεται παίρνοντας τη μέση τιμή των WEF κάθε υποσυνόλου στο επίπεδο  του δεντροδιαγράμματος διαχωρισμού σε υποσύνολα.
  • Η διαδρομή απόστασης MFSE είναι μια παράλληλη μετάβαση. Αυτό δηλώνει ότι για υψηλά SNR οι  και   είναι οι κυρίαρχοι όροι για τα όρια των πιθανοτήτων σφάλματος, επιτρέποντας έτσι τον υπολογισμό προσεγγιστικών ορίων για τα  P(E) και  να γίνεται απλά.
  • Τα πιθανά βάρη των κωδικών λέξεων που δόθηκαν στην (18.31a) και (18.31b) διαφέρουν κατά την τιμή , η απόσταση MSE ανάμεσα σε σημεία–σήματα. Αυτό είναι χαρακτηριστικό όλων των TCM συστημάτων, δηλαδή τα βάρη των κωδικών λέξεων αυξάνουν κατά πολλαπλάσια του  .
  • Από το όριο της  που σχεδιάστηκε στο σχήμα 18.20, βλέπουμε ότι το πραγματικό κωδικό κέρδος για  αυτού του TCM συστήματος συγκρινόμενο με το ακωδικοποίητο QPSK είναι περίπου 2.6 dB. Αυτό το κωδικό κέρδος πετυχαίνεται χωρίς επέκταση φάσματος.

Ως ένα τελικό σχόλιο αφήνοντας αυτήν την παράγραφο, πρέπει να πούμε ότι παρόλο που το ασυμπτωτικό κωδικό κέρδος ενός TCM συστήματος μπορεί να βρεθεί υπολογίζοντας την  , όπως φαίνεται στην παράγραφο 18.1, το πραγματικό κωδικό κέρδος για συγκεκριμένο BER βρίσκεται μόνο από προσομοιώσεις στον υπολογιστή ή υπολογίζεται από όρια όπως αυτά που παρουσιάστηκαν στην παράγραφο αυτή.

 

User login

Enter your username and password here in order to log in on the website: